Question

" Desafio Matemático "
Resolva para x
$\sqrt {x ^ 2-4x + 8} + x = 2 - x$

por favor!!!​

Answer 1

Nossa única solução para a equação é x = -2/3.

Queremos resolver a equação:

$\displaystyle \sqrt {x ^ 2 - 4x + 8} + x = 2 - x$

Podemos isolar a raiz quadrada. Subtraia x de ambos os lados:

$\sqrt {x ^ 2 - 4x + 8} = 2 - 2x$

E eleve os dois lados:

$(\sqrt {x ^ 2 - 4x + 8}) ^ 2 = (2 - 2x) ^ 2$

Expandir:

$x ^ 2 - 4x + 8 = 4 - 8x + 4x ^ 2$

Isole a equação:

$3x ^ 2-4x-4 = 0$

Fator:

(3x + 2) (x - 2) = 0

Propriedade de produto zero:

3x + 2 = 0 ou x - 2 = 0

Resolva para cada caso. Por isso:

$\displaystyle x = - \frac {2} {3} \ ou \ x = 2$

Agora, precisamos verificar se há soluções estranhas. Para fazer isso, podemos substituir cada valor de volta na equação original e verificar se a afirmação resultante é verdadeira ou não.

Testando x = -2/3:

$\begin{gathered}\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{\left(-\frac{2}{3}\right)^2-4\left(-\frac{2}{3}\right)+8}+\left(-\frac{2}{3}\right)&\stackrel{?}{=}2-\left(-\frac{2}{3}\right)\\ \\ \sqrt{\frac{4}{9}+\frac{8}{3}+8}-\frac{2}{3}&\stackrel{?}{=}2+\frac{2}{3} \\ \\ \sqrt{\frac{100}{9}}-\frac{2}{3}& \stackrel{?}{=} \frac{8}{3}\\ \\ \frac{10}{3}-\frac{2}{3} =\frac{8}{3}& \stackrel{\checkmark}{=}\frac{8}{3}\end{aligned}\end{gathered}$

Como a afirmação resultante é verdadeira, x = -2/3 é de fato uma solução.

Testando x = 2:

$\begin{gathered}\displaystyle \begin{aligned}\sqrt{(2)^2-4(2)+8}+(2) &\stackrel{?}{=}2-(2) \\ \\ \sqrt{4-8+8}+2&\stackrel{?}{=}0 \\ \\ \sqrt{4}+2&\stackrel{?}{=}0 \\ \\ 2+2=4&\neq 0\end{aligned}\end{gathered}$

Visto que a afirmação resultante não é verdadeira, x = 2 não é uma solução.

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Answer 2

Oie, tudo bom?

$\sqrt{x {}^{2} - 4x + 8 } + x = 2 - x \\ \sqrt{x {}^{2} - 4x + 8 } = 2 - x - x \\ \sqrt{x {}^{2} - 4x + 8 } = 2 - 2x \\ \sqrt{x {}^{2} - 4x + 8 } {}^{2} = (2 - 2x) {}^{2} \\ x {}^{2} - 4x + 8 = 4 - 8x + 4x {}^{2} \\ x {}^{2} - 4x + 8 - 4 + 8x - 4x {}^{2} = 0 \\ - 3x {}^{2} + 4x + 4 = 0 \\ 3x {}^{2} - 4x - 4 = 0$

$\boxed{a = 3 \: ,\: b = - 4 \: ,\: c = 4}$

$x = \frac{ - b± \sqrt{b {}^{2} - 4ac} }{2a} \\ x = \frac{ - ( - 4)± \sqrt{( - 4) {}^{2} - 4 \: . \: 3 \: . \: ( - 4)} }{2 \: . \: 3} \\ x = \frac{4± \sqrt{16 + 48} }{6} \\ x = \frac{4± \sqrt{64} }{6} \\ x = \frac{4±8}{6} \\ x = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = \boxed{2} \\ x = \frac{4 - 8}{6} = \frac{ - 4}{6} = \frac{ - 4 {}^{ \div 2} }{6 {}^{ \div 2} } = \frac{ - 2}{3} =\boxed{ - \frac{2}{3} }$

Verificando a raiz verdadeira da equação:

$\sqrt{x {}^{2} - 4x + 8} + x= 2 - x \\ \sqrt{2 {}^{2} - 4 \: . \: 2 + 8} + 2 = 2 - 2 \\ \sqrt{2 {}^{2} - 8 + 8} = - 2 \\ \sqrt{2 {}^{2} } = - 2 \\ \boxed{2 ≠ - 2}$

$\sqrt{x {}^{2} - 4x + 8} + x = 2 - x \\ \sqrt{( - \frac{2}{3}) {}^{2} - 4 \: . \: ( - \frac{2}{3} ) + 8} + ( - \frac{2}{3} ) = 2 - ( - \frac{2}{3} ) \\ \sqrt{ \frac{4}{9} + \frac{8}{3} + 8} - \frac{2}{3} = 2 + \frac{2}{3} \\ \sqrt{ \frac{100}{9} } - \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \\ \frac{10}{3} - \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \\ \boxed{ \frac{8}{3} = \frac{8}{3} }$

$\boxed{S = \left \{ - \frac{2}{3} \right \}}$

Att. NLE Top Shotta