Question

Qual o valor do determinante da matriz $\left[\begin{array}{cc}a&b\\b&a\end{array}\right]$, sendo $2a= e^{x}+ e^{-x}$ E $2b= e^{x}-e^{-x}$?

a) 0
b) $e^{-x}$
c) 1
d) -1
e) $e^{x}$

Answer 1

Sendo $\mathbf{A}$ a matriz dada, temos que o determinante de $\mathbf{A}$ é

$\det\mathbf{A}=a\cdot a-b\cdot b\\ \\ \det\mathbf{A}=a^{2}-b^{2}$


Fatorando a diferença entre os quadrados no lado direito (produtos notáveis), temos

$\det\mathbf{A}=(a+b)\cdot (a-b)$


Multiplicando os dois lados por $4,$ temos

$4\cdot \det\mathbf{A}=4\cdot (a+b)\cdot (a-b)\\ \\ \\ 4\cdot \det\mathbf{A}=2\,(a+b)\cdot 2\,(a-b)\\ \\ \\ 4\cdot \det\mathbf{A}=(2a+2b)\cdot (2a-2b)$


Substituindo $2a$ e $2b$ pelo que foi dado no enunciado, temos

$4\cdot \det\mathbf{A}=[(e^{x}+e^{-x})+(e^{x}-e^{-x})]\cdot [(e^{x}+e^{-x})-(e^{x}-e^{-x})]\\ \\ 4\cdot \det\mathbf{A}=[e^{x}+\diagup\!\!\!\!\!e^{-x}+e^{x}-\diagup\!\!\!\!\!e^{-x}]\cdot [\diagup\!\!\!\!\!e^{x}+e^{-x}-\diagup\!\!\!\!\!e^{x}+e^{-x}]\\ \\ 4\cdot \det\mathbf{A}=(2e^{x})\cdot (2e^{-x})\\ \\ 4\cdot \det\mathbf{A}=4\cdot (e^{x}\cdot e^{-x})\\ \\ 4\cdot \det\mathbf{A}=4\cdot (e^{x-x})\\ \\ 4\cdot \det\mathbf{A}=4\cdot (e^{0})\\ \\ 4\cdot \det\mathbf{A}=4\cdot 1\\ \\ \det\mathbf{A}=\dfrac{4}{4}\\ \\ \\ \det\mathbf{A}=1$


Resposta: alternativa $\text{c) }1.$