1-Quais são os zeros ou raízes da função f(x) = x² - 4x + 3:
a)-3 e 1
b)-1 e 4
c)não existem raízes reais
d)1 e 3
2)Determine os zeros da função y = x² + 16x + 39. *
Respostas
Resposta:
olá
(I)Sabendo-se que uma equação do segundo grau completa é uma igualdade do tipo ax²+bx+c=0 (com a necessariamente diferente de zero, caso contrário, o termo ax² zeraria e ter-se-ia uma equação do primeiro grau), inicialmente, para melhor entendimento das demais etapas da resolução, pode-se proceder à determinação dos coeficientes por meio de comparação entre a equação fornecida e a forma genérica da equação do segundo grau:
1.x² - 4.x + 3 = 0 (Veja a Observação 1.)
a.x² + b.x + c = 0
Coeficientes: a = 1, b = -4, c = 3
OBSERVAÇÃO 1: Quando o coeficiente for 1, ele pode ser omitido, pois está subentendido. Assim, em vez de 1.x², no termo ax², tem-se apenas x².
(II)Cálculo do discriminante (Δ), que é valor que diz o número de raízes e se elas estão no conjunto dos números reais ou no dos complexos, utilizando-se dos coeficientes:
Δ = b² - 4 . a . c
Δ = (-4)² - 4 . (1) . (3) ⇒
Δ = (-4)(-4) - 4 . (1) . (3) ⇒
Δ = 16 - 4 . (3) ⇒ (Veja a Observação 2 abaixo.)
Δ = 16 - 12 ⇒
Δ = 4
OBSERVAÇÃO 2: Na parte destacada, aplicou-se a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam em sinal de negativo (-).
→Como o discriminante (Δ) resultou em um valor maior que zero, a equação x²-4x+3=0 terá duas raízes diferentes e pertencentes ao conjunto dos números reais.
(III)Aplicação da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva de equação do segundo grau), utilizando-se dos coeficientes e do discriminante:
x = (-b ± √Δ) / 2 . a ⇒
x = (-(-4) ± √4) / 2 . (1) ⇒
x = (4 ± 2) / 2 ⇒
x' = (4 + 2)/2 = 6/2 ⇒ x' = 3
x'' = (4 - 2)/2 = 2/2 ⇒ x'' = 1
RESPOSTA: As raízes da equação são 1 e 3. (ALTERNATIVA B)
Outras maneiras, porém mais formais, de indicar a resposta:
S={x E R / x = 1 ou x = 3} (Leia-se "o conjunto-solução é x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é igual a um ou x é igual a três") ou
S={1, 3} (Leia-se "o conjunto solução é constituído pelos elementos um e três".)
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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo x = 1 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:
1x² - 4x + 3 = 0
1 . (1)² - 4 . (1) + 3 = 0
1 . (1)(1) - 4 . (1) + 3 = 0 (Reveja a Observação 2.)
1 . (1) - 4 + 3 = 0
1 - 4 + 3 = 0
-4 + 4 = 0
0 = 0 (Provado que x = 1 é solução (raiz) da equação.)
→Substituindo x = 3 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:
1x² - 4x + 3 = 0
1 . (3)² - 4 . (3) + 3 = 0
1 . (3)(3) - 4 . (3) + 3 = 0 (Reveja a Observação 2.)
1 . (9) - 12 + 3 = 0
9 - 12 + 3 = 0
-12 + 12 = 0
0 = 0 (Provado que x = 3 é solução (raiz) da equação.)