Matéria: Matemática
Autor: Lukyo
Perguntado 9 anos atrás

(50 PONTOS) Obter uma fórmula fechada para o somatório:
$~$
$\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{2^{k}}{\sqrt{2^{k+1}}+\sqrt{2^{k}}}}$

EDVAN005: Mas vamos tentar...

rebecaestivalete: O denominador do seu somatório pode ser trabalhado veja: √[2^(k+1)] + √2^(k), isto é igual a √[2^(k).2] +√2^(k), isto é igual a √2^(k).√2] +√2^(k), agora coloca em evidência e então fica [√2^(k)][1+√2], isto é igual a [2^(k/2)][1+√2].

rebecaestivalete: Agora a expressão inicial que está no denominador e dentro do somatório pode ser escrita assim (2^k)/[2^(k/2)][1+√2]. Conservando a base e subtraindo o expoentes fica [2^(k/2)]/[1+√2]. Verifique isto que fiz. Se encontrar algum erro me avise que vou interromper as outras informações seguintes que ainda tenho para passar.

Lukyo: O seu raciocínio parece correto e um caminho válido. Se puder concluir a resposta, eu agradeço.

Lukyo: Por favor, se puder responder no campo de respostas, para a pergunta não ser excluída por falta de respostas...

rebecaestivalete: Não quero responder no quadro, porque o quadro se fecha para outro que pode ter uma resposta melhor. Aí vc vai ser prejudicado. Como que vai naquele lugar de conversa?

rebecaestivalete: Desenvolvendo o somatório para se ter uma visão melhor, teremos: ∑[2^(k/2)]/[1+√2] = [1+√2+2+√8+4+√32+8 + ...+ √2^(n-1)]/[1+√2] = 1+2+8+...+2^(n-1) + √2 +√8+√32+...+√2^2n-1)]/(1+√2).

rebecaestivalete: Conforme pode-se perceber a soma oriunda do somatório gerou duas PGs, ambas de razão 2. Agora basta encontrar a soma e terás a fórmula fechada. Bem, assim penso eu. Espera alguém mais responder. Se encontrar algum erro me avise.

rebecaestivalete: Se vc achar que está tudo certo então eu posso copiar e responder no quadro. Mas só vou fazer isto se vc disser que está certo e me autorizar.

Lukyo: Vou mandar uma msg no privado.. Clica no envelopezinho...

Respostas

respondido por: EDVAN005

LUKYO, BOM DIA!!
SEGUE ANEXO A RESPOSTA DA SUA QUESTÃO :
TRATA-SE DE UMA SOMA TELESCÓPICA, ESPERO QUE ENTENDA A FÓRMULA, CONFIRA OS CÁLCULOS E ME RESPONDA A QUE CONCLUSÃO CHEGOU, VALEU?! ABRAÇOS JUVENTUDE!!

Anexos: