Question

Uma revendedora de carros vendeu, num único dia, 12 unidades idênticas (mesma cor, mesma motorização, mesmos opcionais, etc.) para 8 clientes. De quantas maneiras diferentes esses carros podem estar distribuídos entre esses clientes, sabendo-se que cada cliente comprou, pelo menos, um carro?
Escolha uma opção:
96.
144.
330.
465.
576.

Answer 1

O número de maneiras diferentes é 330 (Alternativa C).

$\dotfill$

Sejam x₁ , x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈ o número de carros adquiridos por cada um dos 8 clientes. Desta forma, queremos saber de quantas maneiras podemos ter a solução da equação

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ + x₇ + x₈ = 12

Como cada cliente comprou, pelo menos um carro, a tarefa é saber de quantas maneiras podemos distribuir outros 4 carros restantes para os possíveis clientes.

Para tal vamos considerar cada um dos 4 carros como uma bolinha ⊕ ou ║ para delimitar os compradores. Por exemplo, a configuração ⊕⊕⊕⊕║║║║║║║ significa que o primeiro cliente comprou 5 carros e os demais compraram um cada, enquanto ║⊕⊕║║║⊕║║⊕║ representa que o segundo cliente comprou 3 carros, o 5º e 7º cliente compraram 2, e os demais um cada um.

Observe que a tarefa então é escolher o lugar de 4 bolinhas entre 7 barras. De outra forma, combinar 4 elementos entre 11 possíveis. Cada possível configuração corresponde a uma maneira diferente de distribuir os carros comprados entre os compradores.

Assim, C₁₁,₄ = 330.

Logo, o número de maneiras diferentes é 330 (Alternativa C).

Até mais!