ALGUÉM ME AJUDA!!
Considere uma circunferência de equação (x-2)² + (y-3)² = 13. Em quantos pontos essa circunferência intersecta os eixos ordenados?
a- 0
b- 1
c- 2
d- 3
e- 4
Respostas
Resposta:
d) 3 pontos
( ver gráfico em anexo )
Explicação passo a passo:
Circunferência
( x - 2)² + ( y - 3 )² = 13
Equação reduzida da circunferência
Análise gráfica
Fazendo o gráfico da circunferência de centro ( 2 ; 3 ) e de raio √13 ,
por observação se vê que :
→ corta o eixo do y no ponto P ( 0; 6)
→ corta o eixo do x no ponto Q ( 4 ; 0)
→ passa no ponto ( 0;0 )
Se considerarmos que ao passar no ponto (0; 0) só se conta como um
ponto, então interseta os eixos ordenados em três pontos.
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Análise algébrica
Cálculo do ponto de interseção da circunferência com eixo y.
Os pontos no eixo do y têm todos coordenada de x nula.
Por isso a equação do eixo do y é:
x = 0
Assim reunindo as duas condições:
{ ( x - 2)² + ( y - 3 )² = 13
{ x = 0
⇔
( 0 - 2)² + ( y - 3 )² = 13
Observação 1 → Quadrado de uma diferença
Este produto notável tem o seguinte desenvolvimento:
quadrado do primeiro termo
+
o dobro do produto do 1º termo pelo 2º termo
+
o quadrado do 2º termo
Como temos uma equação do 2º grau, passar tudo para o primeiro
membro.
4 + y² - 2 * 3 * y + 3² = 13
y² - 6 y + 4 + 9 - 13 = 0
y² - 6 y = 0
Esta é uma equação incompleta do 2º grau pois falta - lhe o termo
independente.
Não é obrigatório usar a Fórmula de Bhascara.
Pode fazer segundo a regra de equação produto
Equação produto
Colocar y em evidência
y * ( y - 6 ) = 0 ( 1 )
y = 0 ∨ y - 6 = 0
y = 0 ∨ y = 6
portanto quando x = 0 dá origem a dois pontos a interseção da
circunferência com eixo y
( 0 ; 0 ) a origem do plano cartesiano
( 0 ; 6 )
Cálculo do ponto de interseção da circunferência com eixo x
Os pontos no eixo do x têm todos coordenada de y nula.
Por isso a equação do eixo do x é:
y = 0
Assim reunindo as duas condições:
{ ( x - 2)² + ( y - 3 )² = 13
{ y = 0
⇔
( x - 2)² + ( 0 - 3 )² = 13
outro produto notável " igual " ao feito em ( 1 )
x² + 2 * x * ( - 2 ) + 2² + 9 - 13 = 0
x² - 4 x + 13 - 13 = 0
x² - 4 x = 0
Outra equação produto
Colocar x em evidência:
x * ( x - 4 ) = 0
x = 0 ∨ x - 4 = 0
x = 0 ∨ x = 4
Quando y = 0 obtemos dois pontos:
(0 ; 0 ) origem do plano cartesiano
( 4 ; 0 )
Sendo de considerar que o ponto ( 0 ; 0 ) se repete, por isso só se contará
uma vez , a circunferência interseta os eixos ordenados nos seguintes
três pontos:
( 0 ; 0 )
P ( 0 ; 6 )
Q ( 4 ; 0 )
Está feita a demonstração algébrica do que se havia observado em gráfico.
Bom estudo.
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Símbolos : ( * ) multiplicação ( ∨ )
