Question

Resolva a expressão n! + (n+1)! = n! (n+2)

Answer 1

Como $(k - 1)! = (k-1) \times (k - 2) \times (k - 3) \times ... \times 2 \times 1$, então temos que $k( k - 1)! = k \times (k-1) \times (k - 2) \times ... \times 2 \times 1$, ou seja, $k(k - 1)! = k!$ e isso será muito importante para resolver este exercício:

$n! + (n + 1)! = n!(n + 2) \\ n! + (n + 1)n! = n!(n + 2) \\ n![1 + (n + 1)] = n!(n + 2) \\ n!(n + 2) = n!(n + 2).$

Perceba que chegamos a uma verdade incontestável para qualquer $n \in N$, isto é, não importa o valor natural de $n$ que você escolha para substituir na equação, ela será sempre verdadeira.