Question

4- Determine a equação reduzida, os focos, o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal e também a excentricidade da elipse abaixo.

Answer 1

Equação reduzida:

$\Large\dfrac{(x-3)^2}{25}+\dfrac{(y-2)^2}{16}=1$

Focos:  $\LargeF_1=(0,\,2)$  e $\LargeF_2=(6,\,2)$

Centro: $\LargeC=(3,\,2)$

Eixo maior:  $\Large\overline{A_1A_2}=10$

Eixo menor: $\Large\overline{B_1B_2}=8$

Distância focal: $\Large\overline{F_1F_2}=6$

Excentricidade: $\Largee=\dfrac{3}{5}=0{,}6$

Explicação

A elipse da figura possui o eixo maior paralelo ao eixo das abscissas, ou seja, é uma elipse horizontal. A equação de uma elipse horizontal de centro $C=(h,\,k)$, raio maior $a$ e raio menor $b$ é dada pela seguinte fórmula:

$\Large\text{ \dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1 .}$

Analisando a figura fornecida, vemos que o centro da elipse desta questão é $C=(3,\,2).$ O raio maior é igual a 8 - 3 = 5, que é a distância entre o vértice do eixo maior e o centro da elipse. O raio menor é igual a 6 - 2 = 4, que é a distância entre o vértice do eixo menor e o centro.

Desse modo, a equação reduzida desta elipse é:

$\Large\boxed{\boxed{\text{ \dfrac{(x-3)^2}{25}+\dfrac{(y-2)^2}{16}=1 .}}}$

Para encontrar as coordenadas dos focos precisamos encontrar o valor de "c", que é a distância de cada foco ao centro e também é a metade da distância focal (distância entre os focos). Lembre-se de que, pela definição de elipse, tem-se 2a > 2c. Além disso, os focos estão localizados no eixo maior (veja imagem anexa). Para encontrar o valor de c, basta usarmos a relação notável da elipse:

$\Large\boxed{\text{ a^2=b^2+c^2 .}}$

Como a = 5 e b = 4, segue que:

$\Large\begin{gathered}5^2=4^2+c^2\\\\25=16+c^2\\\\c^2=9\\\\\boxed{c=3}\end{gathered}$

Assim, as coordenadas do foco são:

$\Large\boxed{\boxed{F_1=(0,\,2)}}$

e

$\Large\boxed{\boxed{\text{ F_2=(6,\,2) .}}}$

A medida do eixo maior é o dobro do raio maior. Desse modo,

$\Large\boxed{\boxed{\text{ \overline{A_1A_2}=2a=2\cdot 5=10 .}}}$

A medida do eixo menor é o dobro do raio menor. Logo,

$\Large\boxed{\boxed{\text{ \overline{B_1B_2}=2b=2\cdot 4=8 .}}}$

Por sua vez, a distância focal é igual a:

$\Large\boxed{\boxed{\text{ \overline{F_1F_2}=2c=2\cdot 3=6 .}}}$

Por fim, a excentricidade da elipse é definida como a razão entre c e a, ou seja:

$\Large\boxed{\boxed{\text{ e=\dfrac{3}{5}=0{,}6 .}}}$

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Espero ter ajudado!