Question

O Número real positivo "p", uma das raízes da equação x" -x -1 = 0, é denominado de número de ouro. O quadrado do número de ouro, isto é, o valor de p², é igual a:

 

Answer 1

Temos que:

 

$\text{x}^2-\text{x}-1=0$

 

Vamos determinar as raízes:

 

$\text{x}=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

 

Logo, as raízes são:

 

$\text{x}'=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

 

$\text{x}"=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$

 

Desta maneira, podemos afirmar que $\text{p}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ e, portanto:

 

$\text{p}^2=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2=\dfrac{1+2\sqrt{5}+5}{4}=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$