Question

marque a alternativa que apresenta o angulo entre as retas r{x=1+2t y=2+t z=3+t e r{x=4+t y= 2-t z = 5+2t

A=45graus
B=58GRAUS
C=60...
D=82...
E=30...

Answer 1

Temos as seguintes retas:

$\sf r_{1} : \begin{cases} \sf x = 1 + 2t \\ \sf y = 2 + t \\ \sf z = 3 + t\end{cases} \: \: \: \: r_{2} : \begin{cases} \sf x = 4 + t \\ \sf y = 2 - t \\ \sf z = 5 + 2t\end{cases}$

Note que essas retas estão em sua forma paramétricas, ou seja, como sabemos ela certamente foi uma expansão da seguinte expressão:

$\sf r_{1} \: \: \to \: \: \sf (x,y,z) = (1,2,3) +t. (2,1,1) \: \: \: \: \: \: \\ \sf \sf r_{2} \: \: \to \: \: \sf (x,y,z) = (4,2,5) +t. (1 , - 1,2) \: \:$

Como podemos ver, os vetores diretores dessas retas são basicamente esses que acompanham o (t). Então, para descobrir o ângulo entre essas retas, basta calcular o ângulo entre os vetores diretores das retas.

$\sf v_{r_1} =(2,1,1) \: \: e \: \: \sf v_{r_2} =(1, - 1,2)$

Substituindo os dados na fórmula:

$\sf \cos( \alpha ) = \frac{ \sf v_{r_1} \: \cdot \: \sf v_{r_2} }{ || v_{r_1}|| \: . \: || \sf v_{r_2} || }$

Vamos primeiro calcular o valor do produto escalar entre esses dois vetores:

$\sf v_{r_1} \: \cdot \: \sf v_{r_2} = 2.1 + ( - 1).1 + 2.1 \\ \sf v_{r_1} \: \cdot \: \sf v_{r_2} = 4 - 1 \\ \sf v_{r_1} \: \cdot \: \sf v_{r_2} = 3$

Agora vamos calcular as normas:

$\sf | |v_{r_1} | | = \sqrt{2 {}^{2} + 1 {}^{2} + 1 {}^{2} } \\ \sf| |v_{r_1} | | = \sqrt{6} \\ \\ \sf | |v_{r_2} | | = \sqrt{1 {}^{2} +( - 1) {}^{2} + 2 {}^{2} } \\ \sf | |v_{r_2} | | = \sqrt{6}$

Substituindo os dados na relação:

$\sf \cos( \alpha ) = \frac{3}{ \sqrt{6} \: . \: \sqrt{6} } \\ \\ \sf \cos( \alpha ) = \frac{3}{6} \\ \\ \sf \cos( \alpha ) = \frac{1}{2} \\ \\ \sf \alpha = \arccos \left( \frac{1}{2} \right) \\ \\ \boxed{\sf \alpha = 60 {}^{o} }$

Espero ter ajudado