Question

02) Demonstrar por indução que para todo n ∈ N: 1 + 2 + 3 + · · · + n = 1/2n(n + 1).​

Answer 1

Demonstrar que:

$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}, \forall n\in \mathbb{N}$

Demonstração por indução finita sobre n

Seja a proposição

$p(n): 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}, \forall n\in \mathbb{N}$

Base indutiva: temos que p(1) é verdadeiro, pois:

$p(1): 1=\frac{1(1+1)}{2}$

Hipótese indutiva: seja k um número natural e que p(k) é verdadeiro. Então:

$p(k): 1+2+3+...+k=\frac{k(k+1)}{2}, k\in \mathbb{N}$

Por implicação, teremos que para p(k+1) também deve ser verdadeira:

$p(k+1):1+2+3+...+k+(k+1)\\\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}\\\\\Rightarrow \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

Assim está provado por indução finita que, para todo número natural n, a proposição p(n) é verdadeira, ou seja:

$B=\mathbb{N}$

O conjunto B que era subconjunto de $\mathbb{N}$, com a dissertação acima, é igual a

$\mathbb{N}$.

Um caso a parte, se a proposição acima for:

$p(n):1+2+3+...+n=\frac{1}{2n(n+1)},\forall n\in \mathbb{N}$

Base indutiva: Temos que p(1) tem que ser verdadeira, então:

$p(1):1=\frac{1}{2.1(1+1)}=\frac{1}{4}\Rightarrow 1\neq \frac{1}{4}$

Então p(n) não é verdadeira pela formula que usaste.