Question

Encontrar a área sob o gráfico da curva ​

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$\sf y = (x + 1) {}^{ - \frac{3}{2} } , \: x \geqslant 15$

Para calcular a área dessa região, partindo x = 15, temos que utilizar a integral imprópria, pois a informação de que x ≥ 15, quer dizer que a área se estende desde x = 15 até infinito, logo temos:

$\sf A = \int\limits_{15}^{ \infty } \frac{1}{(x + 1) {}^{ \frac{3}{2} } } dx$

Priimeiro vamos organizar a integral através de;

$\sf\int \limits_{a}^{ \infty } \: f(x)dx \: \to \: \lim_{b \to \infty } \sf\int \limits_{a}^{ b } \: f(x)dx$

Substituindo essa informação:

$\sf A = \lim_{b \to \infty } \sf\int \limits_{15}^{ b } \: \frac{1}{(x + 1) {}^{ \frac{3}{2} } } dx$

Resolvendo a integral por substituição de variável:

$\sf \int \frac{1}{(x + 1) {}^{ \frac{3}{2} } } dx \: \to \: u = x + 1 \\ \\ \sf \frac{du}{dx} = 1 \: \to \: du = dx \\ \\ \sf \int \frac{1}{u {}^{ \frac{3}{2} } } .du \: \to \: \int u {}^{ - \frac{3}{2} } du \: \to \: \: \frac{u {}^{ - \frac{3}{2} + 1} }{ - \frac{ 3}{2} + 1 } \\ \\ \sf \frac{u {}^{ - \frac{1}{2} } }{ - \frac{1}{2} } \: \to \: - \frac{2}{ \sqrt{u} } \: \to \: - \frac{2}{ \sqrt{x + 1} }$

Ainda faltar aplicar os limites de integração:

$\sf \lim_{b \to \infty } \left[ - \frac{2}{ \sqrt{x + 1} } \right] \bigg| _{15}^{b} \\ \\ \sf \lim_{b \to \infty } - \frac{2}{ \sqrt{b + 1} } + \frac{2}{ \sqrt{15 + 1} } \\ \\ \sf \lim_{b \to \infty } - \frac{2}{ \sqrt{b + 1} } + \frac{1}{2}$

Dado que com a substituição do valor a qual o "x" tende, o denominador vai pra infinito, e como se sabe, a divisão de um número finito por um infinito, o resultado é 0, portanto:

$\sf \lim_{b \to \infty } 0 + \frac{1}{2} \: \to \: \sf \lim_{b \to \infty } \frac{1}{2} \\ \\ \boxed{ \boxed{ \sf\frac{1}{2}u.a }} \:$

Espero ter ajudado