Alguém me ajuda com essa questão, determine os valores próprios e vetores próprios da seguinte transformação linear. T: R^2 para R^2, T(x, y) = (7x + 2y, -4x +y).
Respostas
Resposta:
O espaço vetorial R2
é soma direta dos subespaços U =
(x, y) ∈ R2
| y = 0
e W
(x, y) ∈ R2
| x = 0
. Ou seja, R2 = U ⊕ W.
Temos que um elemento de U é da forma (x, y) com y = 0, ou seja, (x, 0) = x(1, 0), para
x ∈ R. Assim, o conjunto U é gerado pelo elemento (1, 0), isto é, U = [(1, 0)].
De mesmo modo, um elemento de W é da forma (0, y) = y(0, 1), para y ∈ R. Assim, o conjunto
W é gerado pelo elemento (0, 1), isto é W = [(0, 1)].
Logo, temos que a intersecção entre U e W é o elemento neutro de R2
, ou seja, U ∩W = {(0, 0)}
Além disso, U + W = [(1, 0),(0, 1)].
Mas, o conjunto {(1, 0),(0, 1)} gera todo o R2
, pois qualquer elemento (x, y) ∈ R2 pode ser
escrito como a combinação linear (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1). Assim, temos que U + W = R2
.
E como U ∩ W = {(0, 0)}, temos:
R
2 = U ⊕ W
De fato, qualquer elemento (x, y) do R2 pode ser escrito como combinação de um elemento de
U, da forma (x, 0) com um de W, da forma (0, y) e o único elemento que pertence a U e a W.
Explicação passo-a-passo:
espero ter ajudado