Question

Dada a matriz M e a matriz M-1, podemos afirmar que o valor de x + y é: *


A)-2
B) 1
C)0
C)- 1

Answer 1

Vou usar o escalonamento para encontrar a inversa de M

1    1      0      |       1        0      0

3    1      1      |       0        1      0

2    1      1      |       0        0      1

L2=L2-3L1

L3=L3-2L1

1     1      0      |       1        0     0

0   -2      1      |     -3        1       0

0   -1      1      |    -2         0      1

L2=L2/(-2)

1     1      0        |       1          0        0

0    1     -1/2     |    3/2       -1/2       0

0   -1      1         |    -2          0         1

L3=L3+L2

1     1      0        |       1           0          0

0    1     -1/2     |    3/2        -1/2        0

0   0      1/2         | -1/2       -1/2         1

L2=L2+L3

1     1      0        |       1             0          0

0    1         0     |       1             -1          1

0   0      1/2     |    -1/2         -1/2         1

L1=L1-L2

L3=2*L3

1     0        0        |       0          1          -1

0    1         0        |       1          -1          1

0    0        1         |      -1          -1          2

M⁻¹ =

 0          1          -1

 1          -1          1

-1          -1          2

x=-1

y=2

x+y= -1+2=1

letra B

Answer 2

B) 1

explicação:

voce deve lembrar que a matriz original multiplicada por sua matriz inversa resulta sempre numa matriz identidade com a mesma ordem que a original tem.

neste caso como a matriz é M a regra fica:

$M \: . \: {M}^{ - 1} = I$

substituindo a matriz M , a matriz M-¹ ( que estao fornecidas na foto) e a matriz I( matriz identidade) de ordem 3 fica:

$\tiny{\left( \begin{array}{ccc}1&1&0 \\3&1&1 \\2 &1&1 \end{array}\right) \:. \: \left( \begin{array}{ccc}0&1&x\\1& - 1&1 \\ - 1 & - 1&y\end{array}\right) = \left( \begin{array}{ccc}1&0&0 \\0&1&0 \\0 &0&1 \end{array}\right)}$

fazendo esta multiplicação de matrizes que está antes do sinal de igual fica assim( vou retirar amatriz identidade porque nao cabe, depois coloco denovo):

$\tiny{\left( \begin{array}{ccc}1.0 + 1.1 + 0.( - 1) \: &1.1 + 1.( - 1) +0.( - 1) \: &1.x + 1.1 + 0.y \\3.0 + 1.1 + 1.( - 1)&3.1 + 1.( - 1) + 1.( - 1)&3.x + 1.1 + 1.y \\2.0 + 1.1 + 1.( - 1) &2.1 + 1.( - 1) + 1.( - 1)&2.x + 1.1 + 1.y \end{array}\right)}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ⇩$

$\tiny{\left( \begin{array}{ccc}0+ 1 + 0 \: &1 + ( - 1) +0\: &x + 1 + 0 \\0+ 1 + ( - 1)&3 + ( - 1) + ( - 1)&3x + 1 + y \\0+ 1 + ( - 1) &2+ ( - 1) + ( - 1)&2x + 1 + y \end{array}\right)}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ⇩$

$\tiny{\left( \begin{array}{ccc}1 & \: \: \: 0\: & \: \: \: x + 1 \\0& \: \: 1& \: \: 3x + 1 + y \\ 0 & \: \: 0& \: \: 2x + 1 + y \end{array}\right)}$

achada a resposta daquela multiplicaçao vamos voltar para a equaçao orginal:

tinhamos:

$\tiny{\left( \begin{array}{ccc}1&1&0 \\3&1&1 \\2 &1&1 \end{array}\right) \:. \: \left( \begin{array}{ccc}0&1&x\\1& - 1&1 \\ - 1 & - 1&y\end{array}\right) = \left( \begin{array}{ccc}1&0&0 \\0&1&0 \\0 &0&1 \end{array}\right)}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \huge{⇩}$

$\: \: \: \: \: \tiny{\left( \begin{array}{ccc}1 & \: \: \: 0\: & \: \: \: x + 1 \\0& \: \: 1& \: \: 3x + 1 + y \\ 0 & \: \: 0& \: \: 2x + 1 + y \end{array}\right)} = \left( \begin{array}{ccc}1&0&0 \\0&1&0 \\0 &0&1 \end{array}\right)$

agora temos uma igualdade de matrizes. quando temos isso, podemos igualar cada elemento de posição igual nas duas matrizes.

aqueles que tem letras vamos igualar para achar as letras.

ELEMENTO DA PRIMEIRA LINHA E TERCEIRA COLUNA:

$x + 1 = 0$

rssolve:

$x + 1 = 0 \\ \\ x = 0 - 1 \\ \\ \ \bold{ \red{ x = - 1}}$

........

ELEMENTO DA SEGUNDA LINHA E TERCEIRA COLUNA:

$3x + 1 + y = 0$

substitui o x pelo valor de x que achamos ( - 1):

$3x + 1 + y = 0 \\ \\ 3. \red{ \bold{( - 1)}} + 1 + y = 0 \\ \\ - 3 + 1 + y = 0 \\ \\ - 2 + y = 0 \\ \\ y = 0 + 2 \\ \\ \bold{\green{y = 2}}$

achamos x = - 1 e y = 2, e pede no enunciado da questao qual o valor de x + y

entao:

x + y

(-1) + 2

-1 + 2

1

RESPOSTA: B) 1