Respostas
Sequência numérica é uma sucessão finita ou infinita de números obedecendo uma determinada ordem definida antecipadamente.
Uma sequência numérica na matemática deve ser representada entre parênteses e ordenada. Veja como são representadas nos exemplos abaixo:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, …): sequência dos números naturais;
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …): sequência dos números primos positivos;
(1, 3, 5, 7, 9, …): sequência dos números ímpares positivos.
Classificação das Sequências Numéricas
Podemos classificar as sequências numéricas em infinitas e finitas:
Sequência Infinita: uma sequência infinita é representada da seguinte forma: (a1, a2, a3, a4, … , an, …)
Exemplos:
(2, 4, 6, 8, 10, …): sequência dos números pares positivos;
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …): sequência dos números naturais;
As sequências infinitas são representadas com uma reticência no final. Os elementos são indicados pela letra a. Então, o elemento a1, equivale ao primeiro elemento, a2, ao segundo elemento e assim por diante.
Sequência Finita: uma sequência finita é representada da seguinte forma: (a1, a2, a3, a4, … , an)
Exemplo:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9): sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração;
Nas sequências finitas podemos indicar o elemento an da sequência, pois se trata de uma sequência finita e sabemos exatamente a quantidade de elementos da sequência. Na sequência acima, n = 10, portanto, an é a10 = 9.
Então:
a1 = 0;
a2 = 1;
a3 = 2;
a4 = 3;
a5 = 4;
a6 = 5;
a7 = 6;
a8 = 7;
a9 = 8;
a10 = 9;
Igualdade de Sequências Numéricas
Duas sequências são consideradas iguais se apresentarem os mesmos termos e na mesma ordem.
Exemplo:
Considerem as seguintes sequências:
(a, b, c, d, e)
(2, 7, 9, 10, 20)
As duas sequências acima poderão ser consideras iguais se, e somente se, a = 2, b = 7, c = 9, d = 10 e e = 20.
Considerem as seguintes sequências:
(1, 2, 3, 4, 5)
(5, 4, 3, 2, 1)
As sequências acima não são iguais, mesmo apresentando os mesmos números, elas possuem ordens diferentes.
Fórmula do Termo Geral
Cada sequência numérica possui sua lei de formação. A sequência (1, 7, 17, 31, …) possui a seguinte lei de formação:
an = 2n2 – 1, n ∈ N*
Essa fórmula é usada para encontrar qualquer termo da sequência. Por exemplo, o termo a4 = 2 . 42 – 1 = 31
Exemplo:
a1 = 2 . 12 – 1 = 1;
a2 = 2 . 22 – 1 = 7;
a3 = 2 . 32 – 1 = 17;
a4 = 2 . 42 – 1 = 31;
E assim por diante.
Lei de Recorrência
A lei de recorrência de uma sequência numérica permite calcularmos cada termos conhecendo o seu antecedente:
Exemplo:
Considere a seguinte fórmula de recorrência an + 1 = an – 1 para a sequência (10, 9, 8, 7, 6, …), sendo que o termo a1 = 10. Determine os 5 primeiros termos.
a2 = 10 – 1 = 9;
a3 = 9 – 1 = 8;
a4 = 8 – 1 = 7
a5 = 7 – 1 = 6
Cada sequência numérica possui sua lei de recorrência.
Progressões Aritméticas e Geométricas
As progressões geométricas e aritméticas são sequências numéricas bem conhecidas na matemática.
A progressão aritmética (PA) é um tipo de sequência em que cada termo, começando a partir do segundo, é o termo anterior somado a uma constante r, a qual é chamada de razão da PA.
Uma PA é definida pela seguinte expressão:
an + 1 = an + r
Exemplo:
(1, 2, 4, 6, 8, 10, …): PA com primeiro termo a1 = 0 e razão r = 2.
A progressão geométrica (PG) é um tipo de sequência em que cada termo, começando a partir do segundo, é determinado pela multiplicação por uma constante r, a qual é chamada de razão da PG.
Uma PG é definida pela seguinte expressão:
an = a1 . q(n – 1)
Exemplo:
(1, 2, 4, 8, 16, 32, …): é uma PG em que o primeiro termo a1 = 0 e razão r = 2