Question

Como Fatorar para resolver:

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$

Answer 1

Se tu multiplicar e dividir uma fração pelo mesmo valor ela não se altera, certo? Pois vamos multiplicar e dividir essa daí por $\sqrt{x}+\sqrt{2}$:

$\lim\limits_{x\to2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}.\frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}\Rightarrow \lim\limits_{x\to2}\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt2)}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt2}\Rightarrow \lim\limits_{x\to2}\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt2)} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \lim\limits_{x\to2}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$

Agora que eliminamos a indeterminação é bem simples, só substituir:

$\lim\limits_{x\to2}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\\ \\ \boxed{\boxed{\lim\limits_{x\to2}\frac{\sqrt{x}-\sqrt2}{x-2}=\frac{\sqrt2}{4}}}$