Question

o valor de x, que satisfaz a equação $2^{2x+1} +3. 2^{x+2}=32$

Answer 1

$2 ^{2x+1}+3.2 ^{x+2}=32$

Inicialmente vamos aplicar as propriedades da potenciação, desmembrando as potências de base 2:

$2 ^{2x}.2 ^{1}+3.2 ^{x}.2 ^{2}=32$

Agora, faremos uma permuta entre os primeiros dois expoentes, (2)x ao invés de, (x)2:

$(2 ^{x}) ^{2}.2+3.2 ^{x}.4=32$

Utilizando uma variável auxiliar, $2 ^{x}=p$, temos:

$2.(p) ^{2}+12.(p)=32$

$2p ^{2}+12p-32=0$

Simplificando a equação por 2, vem:

$y ^{2}+6y-16=0$

$\Delta=b ^{2} -4ac$

$\Delta=6 ^{2}-4.2.(-16)$

$\Delta=36+64$

$\Delta=100$

$p= \frac{-b \frac{+}{} \sqrt{\Delta} }{2a}$

$p= \frac{-6\frac{+}{} \sqrt{100} }{2.2}$

$p= \frac{-6 \frac{+}{}10 }{4}$

$p'=1:::p''=-4$

Retornando à variável original, $2 ^{x}=p$:

Para p=1, temos:

$2 ^{x}=1:::2 ^{x}=2 ^{0}:::x=0$


Para p= -4, não existem soluções reais, portanto:



$\boxed{x=0}$



Espero ter ajudado e bons estudos :)