Question

Alguém pode me ajudar na solução dessa questão de calculo?

Answer 1

El sólido se representa mediante el siguiente conjunto
             $S=\{(x,y,z):\,x^2+y^2\leq 1\;,\;0\leq z\leq 3-x-y\}$

Para ello se necesita del siguiente cambio de variable
                       $x=r\cos\theta\,,\, y=r\sin\theta\,,\, z=h$

También necesitaremos del valor absoluto del jacobiano de la transformación $(r,\theta,h)\to (x,y,z)$, es decir

           $J(r,\theta,h)=\left|\det\left[\begin{matrix} x_r&x_\theta&x_h\\ y_r&y_\theta&y_h\\ z_r&z_\theta&z_h \end{matrix}\right]\right|\\ \\ \\ J(r,\theta,h)=|r|$

donde el nuevo conjunto de integración será

  $\Omega=\{(r,\theta,h):\, 0\ \textless \ r\leq 1\,,\, 0\ \textless \ \theta \leq 2\pi\,,\, 0\ \textless \ h\ \textless \ 3-r(\cos\theta+\sin\theta)\}$

Por fin hallemos el volumen del sólido

              $\displaystyle V=\iiint\limits_{\Omega}r\,d\Omega\\ \\ \\ V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3-r(\cos\theta+\sin\theta)}r\,dh\,d\theta\,dr\\ \\ \\ V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}3r-r^2(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta\,dr\\ \\ \\ V=\int_{0}^{1}6\pi r\,dr\\ \\ \\ \boxed{V= 3\pi}$