Question

Determine o módulo, o argumento e a forma trigonométrica dos números complexos:



z1 = 2 - 2i

z2 = 3 + √3i



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Answer 1

O MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO É DADO PELA FÓRMULA:

|z| = $\sqrt{A^{2} +B^{2} }$

MÓDULO DE Z1=  $\sqrt{2^{2} +(-2)^{2} }$ ⇔ $\sqrt{8}$ ⇔ $2\sqrt{2}$

MÓDULO DE Z2= $\sqrt{3^{2} +\sqrt{3} ^{2} }$   ⇔ $\sqrt{12}$⇔ $2\sqrt{3}$

O ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO É O ANGULO   θ FORMADO PELA PARTE REAL ATÉ A ORIGEM.

                                                    DADO POR:

                                    COSθ = $\frac{A}{|Z|}$              SENθ= $\frac{B}{|Z|}$

                                           ARGUMENTO DE Z1:

COSθ= $\frac{2}{2\sqrt{2} }$ ⇒ $\frac{1}{\sqrt{2} }$ ⇒ $\frac{1}{\sqrt{2} }$ $\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} }$⇒$\frac{\sqrt{2} }{2}$

SENθ= $\frac{-2 }{2\sqrt{2} }$ ⇒ $\frac{-1}{\sqrt{2} }$ ⇒$\frac{-1}{\sqrt{2} }$ $\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} }$⇒$\frac{-\sqrt{2} }{2}$

REDUZINDO DO 4° AO PRIMEIRO QUADRANTE TEM-SE COMO ARGUMENTO: $\frac{7\pi }{4}$ OU 315° COMO ACHAR MELHOR.

                                              ARGUMENTO DE Z2:

COSθ=  $\frac{3}{2\sqrt{3} }$⇒ $\frac{3}{2\sqrt{3} }$ $\frac{2\sqrt{3} }{2\sqrt{3} }$⇒$\frac{6\sqrt{3} }{12}$⇒$\frac{\sqrt{3} }{2}$

SENθ= $\frac{\sqrt{3} }{2\sqrt{3} }$ = $\frac{1}{2}$

CONCLUI-SE QUE O ARGUMENTO JÁ PERTENCE AO PRIMEIRO QUADRANTE. LOGO, NÃO PRECISARÁ REDUZI-LO. DIANTE DOS FATOS θ= $\frac{\pi }{6}$ OU 30° COMO ACHAR MELHOR.

              FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NUMERO É DADA POR:

                                               |Z|(cosθ + senθ. $i$)

                                       AGORA É SÓ SUBSTITUIR

FORMA TRIGONOMÉTRICA DE Z1:$2\sqrt{2}$(cos$\frac{7\pi }{4}$ + sen$\frac{7\pi }{4}$.$i$)

FORMA TRIGONOMÉTRICA DE Z2:$2\sqrt{3}$(cos$\frac{\pi }{6}$ + sen$\frac{\pi }{6}$ . $i$)