Question

Monte uma integral tripla iterada para o volume do sólido compreendido entre as superfícies:
O parabolóide de equação $z=4x^{2} +y^{2}$ e o cilindro parabólico de equação $z=4-3y^{2}$

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

Devemos encontrar a integral tripla iterada que calcula o volume do sólido compreendido entre duas superfícies.

Primeiro, o volume de um sólido compreendido em uma região $T$ é calculado pela integral tripla: $\displaystyle{\iiint_T1\,dV}$.

Observe a imagem em anexo: em azul, temos o cilindro parabólico de equação $z=4-3y^2$ e em vermelho, o paraboloide elíptico de equação $z=4x^2+y^2$.

O sólido compreendido entre estes sólidos está limitado superiormente pelo cilindro e inferiormente pelo paraboloide. Dessa forma, a variável $z$, ao ser integrada, varia entre as funções de $x$ e $y$: $4x^2+y^2\leq z\leq 4-3y^2$, os quais são os limites de integração para esta variável.

Então, observe que os pontos de intersecção das superfícies determinam uma circunferência de raio $1$: quando igualamos suas equações, temos

$4x^2+y^2=4-3y^2\\\\\\ 4x^2+4y^2=4\\\\\\ x^2+y^2=1$

Se escolhermos o elemento de volume $dV=dz\,dy\,dx$ ou $dV=dz\,dx\,dy$, isto é, integram-se as variáveis na ordem $z,~y$ e $x$ ou  $z,~x$ e $y$ , devemos encontrar, de acordo com o Teorema de Fubini, limites variáveis para a variável a ser integrada em segundo lugar e limites numéricos para a variável a ser integrada por último.

Na primeira situação, isolamos a variável $y$ em função de $x$:

$y^2=1-x^2\\\\\\ y=\pm\sqrt{1-x^2}$

Dessa forma, a variável $y$ está definida no intervalo $-\sqrt{1-x^2}\leq y\leq \sqrt{1-x^2}$ e estes são os limites de integração para esta variável.

Na segunda situação, o mesmo ocorre analogamente para a variável $x$.

Veja ainda que o sólido estará limitado ao intervalo $-1\leq x\leq 1$.

Então, a integral tripla iterada que calcula o volume deste sólido deve ser:

$\displaystyle{\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_{4x^2+y^2}^{4-3y^2}1\,dz\,dy\,dx}$

Seu cálculo pode ser feito diretamente, sem mudança de variáveis, porém é recomendável que se realize a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas.