Question

Qual limite da função.

Answer 1

Resposta:  Não existe limite da função quando x tende para -3.

Resolução:

Para calcular o limite de uma função definida por ramos quando x tende para o valor em que os ramos diferem, não podemos apenas calcular o limite no ramo que contiver esse valor.

Assim, se  $x\rightarrow a$, e os ramos da função se separam em  $a$,  temos de calcular:

• $\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)$

• $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)$

• $f(a)$

Só podemos dizer que  $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$  existe, se  $\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$.

Sabendo disto, vamos resolver o exercício.

A função f é definida por:

$f(x)=\begin{cases}\dfrac{2x^2+9x+9}{x+3}\quad\text{se}\quad x\neq-3\\\\3\qquad\qquad\qquad\;\text{se}\quad x=-3\end{cases}$

    $\displaystyle\lim_{x\to-3^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to-3^-}\dfrac{2x^2+9x+9}{x+3}^{\;\left(\frac{0}{0}\right)}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to-3^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to-3^-}\dfrac{(x+3)(2x+3)}{x+3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to-3^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to-3^-}2x+3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to-3^-}f(x)=2\times(-3^-)+3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to-3^-}f(x)=-6^-+3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to-3^-}f(x)=-3^-$

    $\displaystyle\lim_{x\to-3^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to-3^+}\dfrac{2x^2+9x+9}{x+3}^{\;\left(\frac{0}{0}\right)}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to-3^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to-3^+}\dfrac{(x+3)(2x+3)}{x+3}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to-3^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to-3^+}2x+3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to-3^+}f(x)=2\times(-3^+)+3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to-3^+}f(x)=-6^++3\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to-3^+}f(x)=-3^+$

$f(-3)=3$

Como  $\displaystyle\lim_{x\to-3^-}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to-3^+}f(x)\neq f(-3)$ , conclui-se que não existe limite da função quando x tende para -3.

    Cálculos Auxiliares    

Aplicando a Regra de Ruffini ao polinómio de 2º grau:

  | 2          9          9

  |

-3|             6         -9

    2          3          0

Logo,  $2x^2+9x+9=(x+3)(2x+3)$.

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