Question

Em um campeonato de 4 turnos,do qual participam 8 equipes, que jogam entre si uma vez a cada turno.O número total de jogos previstos é igual a: *use a fórmula An,p =n!/(n-p) !​

Answer 1

Resposta:

112  jogos   e não 224 jogos

Explicação passo a passo:

Aqui pedem para usar a fórmula :

$A_{n,p} =n! / ( n - p )!$

A = arranjos

! = fatorial de um número inteiro  , não negativo

"n" e "p" serão referências a equipes, aqui

Primeiro pensar sem a fórmula

Temos 8 equipas que jogam entre si,.

Cada equipa joga uma vez com cada uma das outras sete equipes.

Se cada uma das 8 equipes faz isso, então jogam-se 8 * 7  = 56 jogos.

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Alto aí !

Como só são 8 equipes é fácil fazer o esquema de todos os jogos de um turno.

Suponhamos que temos as equipes :

A ; B ; C ; D ; E ; F ; G ; H.

A equipe A  jogou os seguintes jogos:

AB    AC    AD    AE   AF    AG   AH   7 jogos

A equipe B jogou os seguintes jogos:

BA     BC    BD    BE    BF    BG   BH

mas algo está estranho ...

BA = AB é o mesmo.

Então retirar 1 jogo,  por estar duplicado

A equipe C jogou os seguintes jogos:

CA   CB   CD   CE   CF   CG   CH  

novamente algo estranho.

CA e AC é o mesmo

CB e BC é o mesmo

Então retirar 2 jogos, por estarem duplicados

A equipe D jogou os seguintes jogos:

DA   DB    DC    DE    DF    DG    DH    

novamente algo estranho.

DA = AD    ;      DB =  BD     ;    DC = CD

Então retirar 3 jogos, por estarem duplicados

A equipe E jogou os seguintes jogos:

EA     EB    EC    ED    EF    EG    EH

novamente algo estranho.

EA = AE  ;    EB = BE   ;   EC = CE     ;    ED = DE

Então retirar 4 jogos, por estarem duplicados

A equipe F jogou os seguintes jogos:

FA     FB     FC     FD     FE     FG     FH

novamente algo estranho.

FA = AF   ;    FB = BF     ;    FC = CF     ;     FD = DF     ;    FE = EF

Então retirar 5 jogos, por estarem duplicados

A equipe G jogou os seguintes jogos:

GA     GB     GC     GD     GE     GF     GH

novamente algo estranho.

GA = AG   ;   GB = BG   ;   GC = CG   ;  GE = EG   ;    GF = FG

Então retirar 6 jogos, por estarem duplicados

A equipe H jogou os seguintes jogos:

HA   ;   HB    ;   HC  ;  HD   ; HE   ;   HF   ;  HG

novamente algo estranho.

HA = AH ;    HB = BH  ;    HC = CH    ; HD = DH    ;  HE = EH  ;     HF = FH;

HG = GH

Então retirar 7 jogos, por estarem duplicados

Tiramos 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28  jogos por estarem repetidos

56 - 28 = 28

Ou seja, concluindo:

num turno só se realizaram 28 jogos

Em 4 turnos realizaram-se 4 * 28 = 112 jogos

Metade do que se pensava.

É que a ordem em que se escrevem os jogos , não interessa

Quando a ordem não interessa a fórmula a usar não é a de

Arranjos    $A_{n,p}$

Mas sim combinações  :

$C_{n,p} = ( n! / ( p!*(n-p)! )$

Aplicada aqui

$C_{8,2} = ( 8! / ( 2!*(8-2)! )$

$C_{8,2} = ( 8! / ( 2!*6! )$             2! = 2 *1 = 2

$C_{8,2} = ( 40320 / ( 2*720 )$

$C_{8,2} = 40320 / 1440$

$C_{8,2} = 28$

28 jogos num turno

Logo 4 * 28 = 112 jogos

Do modo em que está redigido o enunciado,

( atenção eu estou apenas a falar deste enunciado )

só se realizaram 112 jogos.

Fale com seu professor.

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Vou manter a parte abaixo pois tem informação sobre a matéria e até para

se ler os erros que se cometeram.

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Mas isso é só num turno do campeonato.

E ele tem 4 turnos.

O tal de jogos será 4 * 56 =   224 jogos.

Esta é uma maneira de resolver.

Mas pedem que seja através da fórmula  $A_{n,p} =n! / ( n - p )!$

Há um total de 8 equipes.

( n = total de equipes ; p = quantas equipes jogam de cada vez )

Quando jogam, estão em jogo 2 equipes.

$A_{n,p} =n! / ( n - p )!$

$A_{8,2} =8! / ( 8 - 2 )!$

Observação 1 → Noção de fatorial de um número

É o produto desse número por todos os seus antecessores, até à unidade.

Exemplo:

8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40 320

6! =  6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

Observação 2 → Qual o símbolo de fatorial de um número?

É o ponto de exclamação ( ! ).

Concluindo:

$A_{8,2} =8! / ( 8 - 2 )!$

$A_{8,2} =8! / 6!$

$A_{8,2} =40320 / 720$

$A_{8,2} =56$

56 jogos num turno.  ( errado )

Como vê pode usar ou o raciocínio do início ou esta fórmula, que lhe dão

um total parcial de 56 jogos, em cada turno.

Como são 4 turnos, o total de jogos será 4 * 56 =  224 jogos. ( errado )

Bons estudos.

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Símbolos: ( * ) multiplicação      ( / )  divisão     ( ! ) fatorial de

( errado ) repito de acordo com o enunciado