Respostas
Resposta:
rma:
E = [1 1 1 1; 2 1 -1 0;2 2 1 1]
disp(E)
//L2 <-> L1
aux = E(2,:)
E(2,:) = E(1,:)
E(1,:) = aux
disp(E)
//zera E(2:3,1)
E(2:3,:) = E(2:3,:) - (E(2:3,1)/E(1,1))*E(1,:)
disp(E)
//zera E(3,2)
E(3,:) = E(3,:) - (E(3,2)/E(2,2))*E(2,:)
disp(E)
//subs regressiva
x = zeros(3,1)
x(3) = E(3,4)/E(3,3)
x(2) = (E(2,4) - E(2,3)*x(3))/E(2,2)
x(1) = (E(1,4) - E(1,3)*x(3) - E(1,2)*x(2))/E(1,1)
disp(x)
A técnica de eliminação gaussiana com pivotamento parcial ajuda a evitar a propagação dos erros de arredondamento. Vejamos o próximo exemplo.
Exemplo 4.1.4 (Problema com elementos com grande diferença de escala). Resolva o seguinte sistema usando eliminação gaussiana sem e com pivotamento parcial. Discuta, em cada caso, o resultado frente a aritmética de ponto flutuante quando
«
.
(4.19)
Solução. Vamos, primeiramente, executar a eliminação gaussiana sem pivotamento parcial para e
«
:
(4.20)
Temos
(4.21)
e
(4.22)
Observe que a expressão obtida para se aproximada de quando é pequeno:
(4.23)
Já expressão obtida para depende justamente da diferença :
(4.24)
Assim, quando é pequeno, a primeira expressão, implementada em um sistema de ponto flutuante de acurácia finita, produz e, consequentemente, a expressão para produz . Isto é, estamos diante um problema de cancelamento catastrófico.
Agora, quando usamos a eliminação gaussiana com pivotamento parcial, fazemos uma permutação de linhas de forma a escolher o maior pivô a cada passo:
(4.25)
Continuando o procedimento, temos:
(4.26)
e
(4.27)
Observe que tais expressões são analiticamente idênticas às anteriores, no entanto, são mais estáveis numericamente. Quando converge a zero, converge a , como no caso anterior. No entanto, mesmo que , a segunda expressão produz , isto é, a aproximação não depende mais de obter com precisão.
Exercícios resolvidos
ER 4.1.1. Resolva o seguinte sistema por eliminação gaussiana com pivotamento parcial.
(4.28)
Exercícios
E 4.1.1. Resolva o seguinte sistema de equações lineares
(4.33)
Usando eliminação gaussiana com pivotamento parcial (não use o computador para resolver essa questão).
E 4.1.2. Resolva o seguinte sistema de equações lineares
Usando eliminação gaussiana com pivotamento parcial (não use o computador para resolver essa questão).
E 4.1.3. Calcule a inversa da matriz
(4.41)
usando eliminação gaussiana com pivotamento parcial.
E 4.1.4. Demonstre que se , então a matriz dada por:
(4.42)
é inversível e sua inversa é dada por:
(4.43)
E 4.1.5. Considere as matrizes
(4.44)
e
(4.45)
e o vetor
(4.46)
Resolva o sistema sem usar o computador.
Sem usar o computador e através da técnica algébrica de sua preferência, resolva o sistema considerando
«
e obtenha a solução exata em função do parâmetro .
Usando a expressão analítica obtida acima, calcule o limite .
Resolva o sistema no Scilab usando pivotamento parcial e depois sem usar pivotamento parcial para valores muito pequenos de como . O que você observa?
E 4.1.6. Resolva o seguinte sistema de equações lineares
representando-o como um problema do tipo no Scilab e usando o comando de contra barra para resolvê-lo. Repita usando a rotina que implementa eliminação gaussiana.
E 4.1.7. Encontre a inversa da matriz
(4.54)
Usando eliminação gaussiana com pivotamento parcial à mão.
Usando a rotina ’gausspp()’.
Usando a rotina ’inv()’ do Scilab.
Creative Commons License Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0). Página gerada em 19/8/2020 às 17:36:32.
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