Question

Uma sala tem 6 lampadas, com interruptores independentes. De quantos modos pode-se ilumina-la, se pelo menos uma das lampadas deve ficar acessa?

Answer 1

Para cada lâmpada, há $2$ possibilidades: estar acesa ou apagada.

 

Desta maneira, existem $2^6-1=64-1=63$ modos de iluminar a sala, excluindo-se a possibilidade em que todas as lâmpadas estão apagadas.

Answer 2

Existem 63 maneiras de iluminar esta sala.

Se pelo menos uma lâmpada deve estar acesa, temos que esta sala pode ser iluminada com 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 lâmpadas, ou seja, devemos somar todos os grupos diferentes que podem ser formados com estes números de lâmpadas. Utilizando a combinação simples, temos:

nCx = n!/(n-x)!x!

O total de possibilidades será igual a:

P = 6C1 + 6C2 + 6C3 + 6C4 + 6C5 + 6C6

P = 6!/(6-1)!1! + 6!/(6-2)!2! + 6!/(6-3)!3! + 6!/(6-4)!4! + 6!/(6-5)!5! + 6!/(6-6)!6!

P = 6.5!/5! + 6.5.4!/4!.2.1 + 6.5.4.3!/3!.3.2.1 + 6.5.4!/2.1.4! + 6.5!/5! + 6!/6!

P = 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1

P = 63

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