Question

use a definição de continuidade e propriedades de limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a.
f(x) = (x + 2x³) ⁴, a = -1
obs: se puderem colocar passo a passo serei grata. ​

Answer 1

Definição de continuidade de função real em dado valor:

"Uma função real $f: A \rightarrow B$ é dita continua em $x = a$ se, e somente se,

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$,

onde $a \in A$."

Vamos provar o seguinte

Teorema:

"Toda função real polinomial, cujo domínio é o conjunto dos reais, é contínua em todos os pontos."

com as seguintes

Propriedades:

"Se $f$ e $g$ são funções reais contínuas em $x = a$, então

i) $fg$ é contínua

ii) $f + g$ é contínua;

Demonstração:

Se $f(x) = a_0$ for uma função constante, então é obviamente contínua. Analogamente, a função $f(x) = a_1x$ é obviamente contínua.

Por indução, suponha que toda função polinomial de grau $n - 1$ seja contínua. Seja $f(x) = a_0 + a_1x + ... +a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^x$ uma função polinomial real de grau $n$. Logo, para todo $a \in \mathbb{R}$, temos

$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} a_0 + a_1x + ... +a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n\\= \lim_{x \to a} a_0 + x(a_1 + ... +a_{n-1}x^{n-2} + a_nx^{n-1})$

Nos utilizando das propriedades de limites, e da hipótese de indução, da qual $a_1 + ... +a_{n-1}x^{n-2} + a_nx^{n-1}$ é uma expressão contínua, podemos afirmar que

I) $x(a_1 + ... +a_{n-1}x^{n-2} + a_nx^{n-1})$ é uma expressão contínua, pois é o produto de duas expressões contínuas, conforme a propriedade i).

II) $a_0 + x(a_1 + ... +a_{n-1}x^{n-2} + a_nx^{n-1})$ é uma expressão contínua, pois é a soma de duas expressões contínuas, conforme a propriedade ii).

Temos, então

$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} a_0 + a_1x + ... +a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n\\= \lim_{x \to a} a_0 + x(a_1 + ... +a_{n-1}x^{n-2} + a_nx^{n-1}) = a_0 + a_1a + ... a_{n-1}a^{n-1} + a_na^n$

Logo, $f(x) = f(a)$ como desejávamos; provando então o teorema.

Como a função em questão é polinomial, podemos afirmar que ela é, de fato, contínua em $a = -1$, vide o Teorema acima, c.q.d..