Question

resolva seguinte equação :
3tgx=2cosx

Answer 1

Resposta:

Solução:

$\displaystyle \sf 3 \cdot \tan{x} = 2 \cdot \cos{x}$

Aplicando as relações fundamentais, temos:

$\displaystyle \sf 3 \cdot \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = 2 \cdot \cos{x}$

$\displaystyle \sf3 \cdot \sin{x} = 2 \cdot \cos^2{x}$

Aplicando relações decorrentes da fundamentais, temos;

$\displaystyle \sf \sin^2{x} +\cos^2{x} = 1$

$\displaystyle \sf \cos^2{x} = 1 -\sin^2{x}$

Substituindo, temos:

$\displaystyle \sf3 \cdot \sin{x} = 2 \cdot \cos^2{x}$

$\displaystyle \sf 3 \cdot \sin{x} = 2 \cdot ( 1 - \sin^2{x} )$

$\displaystyle \sf 3 \cdot \sin{x} = 2 - 2 \cdot\sin^2{x}$

$\displaystyle \sf 2 \cdot\sin^2{x} + 3 \cdot \sin{x} - 2 = 0$

Fazendo sen x  =  t , temos:

$\displaystyle \sf 2t^2 +3t - 2 = 0$

$\displaystyle \sf \Delta = b^2 -\:4ac$

$\displaystyle \sf \Delta = 3^2 -\:4 \cdot 2 \cdot (-2)$

$\displaystyle \sf \Delta = 9 + 16$

$\displaystyle \sf \Delta = 25$

$\displaystyle \sf t = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,3 \pm \sqrt{ 25 } }{2\cdot 2}$

$\displaystyle \sf t = \dfrac{-\,3 \pm 5 }{4} \Rightarrow\begin{cases} \sf t_1 = &\sf \dfrac{-\,3 + 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \\\\ \sf t_2 = &\sf \dfrac{-\,3 - 5}{4} = \dfrac{-8}{4} = - 2\end{cases}$

Voltando a condição:

$\displaystyle \sf \sin{x} = t_1$

$\displaystyle \sf \sin{x} = \dfrac{1}{2} \quad \therefore \ x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi \cdot n, \ \ \ x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot n$

$\displaystyle \sf \sin{x} = t_2$

$\displaystyle \sf \sin{x} = -2 \quad \gets \text{\sf Sem soluc\text{\sf \~a}o. }$

''Ser imparcial não significa não ter princípio, e sim profissional''.

                Willyan Taglialenha.

Explicação passo a passo: