Question

ma paisagista planeja uma cascata artificial em um parque da cidade. A água vai fluir a 1.5 m/s do final do canal, fazendo um ângulo γ= 12° abaixo da horizontal, conforme ilustrado na figura.



O final do canal encontra-se no topo de um muro vertical de altura h= 3.5 m, ao lado de uma passagem para pedestres que cerca a piscina na qual a água deverá cair.

Determine a largura máxima que deve ter a passagem para pedestres ao lado da cascata.

Answer 1

A passagem dos pedestres terá, no máximo, uma largura de 1,18 metros.

Anexei a figura da questão no final desta resolução, para facilitar o entendimento.

Primeiramente vamos encontrar as componentes da velocidade (horizontal e vertical) da água no instante que ela começa a cair na cascata.

Considerando o ângulo de inclinação de 12º abaixo da horizontal, teremos:

$v_x = v*cos12^\circ = 1,5*0,98 = 1,47 m/s\\\\v_y = v*sen12^\circ = 1,5*0,21 = 0,32 m/s$

Lembrando que essa componente vertical (Vy) apontará para baixo.

Se a cascata está a 3,5 metros acima do solo, então o tempo de queda da água valerá:

$h = 0 + v_y*t + gt^2/2\\\\3,5 = 0 + 0,32t + 9,8t^2/2\\\\4,8t^2 + 0,32t - 3,5 = 0$

Aplicando Bháskara:

$\Delta = b^2 - 4ac = 0,32^2 - 4*4,8*(-3,5) = 0,1024 + 67,2 = 67,3024\\\\t = \frac{-0,32\pm\sqrt{67,3024} }{9,8} = \frac{-0,32\pm 8,2}{9,8} \\\\t' = -0,87s\\t'' = 0,804s$

Tomamos sempre o tempo positivo, ou seja, a água demora 0,804 segundo para atingir a piscina.

Na horizontal, a velocidade Vx será constante. Se chamarmos a largura da passarela de L, vamos ter:

$v_x = L/t''\\\\1,47 = L/0,804\\\\L = 1,18m$

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