Respostas
Para calcularmos o mmc precisamos saber o que é fatorar. Por exemplo, vamos fatorar o número 6.
6|2
3|3
1
Isso nos indica que 6 pode ser escrito por 2X3 ou 3X2. A fatoração é sempre feita desta forma, começando do menor número primo divisor e terminando em 1, quando possível.
Sabendo disso, vamos analisar o mmc.
A ideia básica que ele nos passa é que dois números ou mais, em algum ponto vão ter um múltiplo comum e esse ponto se chama mínimo múltiplo.
Por exemplo, 2 e 7 são dois números primos, aqui já poderíamos afirmar que o mínimo múltiplo é 14, porém vamos provar.
Vamos somar esses dois números com eles mesmos até que cheguem em um mesmo ponto
2+2+2+2+2+2+2 = 14
7+7 = 14
Perceba que aqui o 2 aparece sete vezes e o 7 duas, justamente por serem primos.
Bom, com isso conseguimos encontrar outra definição para o mmc e, dessa vez, ela explica o porque multiplicamos os números após a fatoração.
Vamos pegar dois outros números maiores e não primos, 169 e 121, nesse caso vale a pena sacar que esses números são quadrados de números primos, por isso basta multiplicarmos os dois para obter o mmc.
169, 121 | 11
169, 11 | 11
169, 1 | 13
13, 1 | 13
1, 1 | 11*11*13*13 = 20,449
Um exemplo prático, 12 e 24.
12, 24 | 2
6, 12 | 2
3, 6 | 2
3, 3 | 3
1, 1 | 2*2*2*3 = 24
Perceba que o resultado foi 24, pois 12 é múltiplo de 24.
Na letra d, por exemplo.
2,7,11 | 2
1 ,7,11 | 7
1, 1,11 | 11
1, 1, 1 | 2*7*11 = 154
Perceba que 2, 7 e 11 são primos, logo basta multiplicarmos os 3.
Ou seja, depois de todas essas observações chegamos a conclusão que quando há números primos, basta multiplicarmos os números. Mas quando não temos, essa regra se mantém?
Vamos usar 27 e 16
27, 16 | 2
27, 8 | 2
27, 4 | 2
27, 2 | 2
27, 1 | 3
9 , 1 | 3
3 , 1 | 3
1 , 1 | 2*2*2*2*3*3*3 = 432 ou 16*27
Bom, quando os números também não têm nenhuma ligação, como 16 e 27 isso é plausível.
Mas a pergunta que resta é: Então é só multiplicar os dois números sempre? E a resposta é: NÃO!!!
Vamos voltar ao exemplo do 12 e 24:
12, 24 | 2
6, 12 | 2
3, 6 | 2
3, 3 | 3
1, 1 | 2*2*2*3 = 24
Perceba que 24 é diferente de 12X24, logo é impossível afirmar isso. E em muitos outros casos, é impossível saber se dois números quaisquer não tem ligação ou são primos, então é de suma importância que você sempre faça a fatoração dos dois números.
Com tudo isso, vamos responder algumas perguntas da imagem.
Calcule o mmc dos seguintes números primos.
A) mmc {2,3}
Já discutimos o que acontece com o mínimo múltiplo de dois números primos, quando há a comprovação, basta multiplicarmos os dois. Pois:
2, 3 \ 2
1, 3 \ 3
1, 1 \ 2* 3 = 6
Nessa questão a regra se aplica a todas as alternativas e a observação já foi dada no texto e explicada.
Determine o mmc dos números consecutivos.
b) mmc {6, 7}
Perceba, que neste intervalo temos um número primo, o 7, então, como discutido, podemos multiplicar o número e, mesmo assim, obter o resultado desejado.
6, 7 | 2
3, 7 | 3
1, 7 | 7
1, 1 | 2*3*7 = 42 ou 6*7
Porém, aqui não é possível argumentar que isso seja verdadeiro até o infinito, pois esse padrão não vai muito longe. Perceba que até na letra c ele já se quebra, então vamos ver o que acontece nesse caso.
c) mmc {8,9}
8, 9 | 2
4, 9 | 2
2, 9 | 2
1, 9 | 3
1, 3 | 3
1, 1 | 2*2*2*3*3=72 ou 8*9
Perceba que 8 e 9 nunca se relacionam nesse intervalo, então basta multiplica-los.