Question

Existe $<var>Existe \sqrt[5]{-8}???????</var>$

Answer 1

Sim, Cintia.

Raízes de números negativos existem se e somente se o índice do radical for ímpar.

Quando o índice é par, então temos que, se $b=\sqrt[n]{a}$, então:

$a=b^n$

Sendo $n$ par, então:

$a=b^n\Rightarrow a=\underbrace{b^2\cdot...\cdot\,b^2}_{\frac n 2\text{ vezes}}$

Resumindo, se $n$ for par, então $a$ é um produto de $\frac n 2$ quadrados, ou, em outras palavras, $a$ é um produto de $\frac n 2$ números positivos, pois $b^2$ é positivo.

Ocorre que, se $a$ for negativo, não é possível escrever $a$ como um produto de números apenas positivos.

Porém, se $n$ for ímpar, isto é possível, pois, se $a$ for negativo, ele pode ser escrito como um produto de números positivos vezes um número negativo:

$n\,\text{\'impar}\Rightarrow\,n=2k+1,k\in\mathbb{N}\Rightarrow a=b^{2k+1}\Rightarrow a=b^{2k}\cdot b\Rightarrow\\\\a=\underbrace{b^2\cdot...\cdot\,b^2}_{k\,\text{vezes}}\cdot\,b$

Perceba, pela expressão acima, que, se $a$ for negativo, é possível encontrar $b$ negativo que satisfaça a igualdade.