Question

equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(7,0) B (0,4)​

Answer 1

Resposta:

r: y = -4x/7 + b

Resolução:

Equação reduzida de uma reta r:

r: y = mx + b.

Para encontrar a equação reduzida de uma reta específica, geralmente dada por dois pontos pelos quais ela passa, basta encontrarmos os valores de m e b que são satisfatórios; para isso há vários métodos. Aqui, vou mostrar os três métodos mais comuns (e mais fáceis).

1º Método: sistema de equações:

Esta é a abordagem mais óbvia e direta: os pontos A(7, 0) e B(0, 4) devem pertencer à reta; logo, a equação y = mx + b deve ser satisfeita quando substituímos (x, y) = (7, 0) ou (x, y) = (0, 4), como fazemos no sistema abaixo:

(i) 0 = 7m + b;

(ii) 4 = 0m + b = b.

Substituindo b = 4, tirado de (ii), na equação (i):

0 = 7m + 4

-7m = 4

m = -4/7.

Basta substituírmos os valores de m e b encontrados na equação reduzida geral.

r: y = -4x/7 + 4

2º Método: r: y - yo = m(x - xo) e taxa de variação m:

Podemos calcular o coeficiente angular m diretamente, se tivermos o conhecimento da seguinte fórmula:

m = (y2 - y1)/(x2 - x1),

onde (x1, y1) e (x2, y2) são coordenadas pertencentes à reta. Então, sabendo que um ponto (xo, yo) pertence à reta (inclusive, pode ser uma das duas coordenadas anteriores), podemos substituir em r: y - yo = m(x - xo). Essa abordagem funciona pois a taxa de variação de uma reta é constante, e é exatamente o seu coeficiente angular m.

Vamos calcular m primeiro, substituindo (x1, y1) = (7, 0) e (x2, y2) = (0, 4) na equação acima:

m = (4 - 0)/(0 - 7) = -4/7

Então, substituímos (xo, yo) = (7, 0) na outra equação, junto com m = -4/7:

r: y - 0 = (-4/7)(x - 7)

r: y = -4x/7 - 4/7(-7)

r: y = -4x/7 + 4

3º Método: determinante:

Para achar a equação da reta que passa por (x1, y1) e (x2, y2), basta realizarmos o seguinte determinante e igualarmos a 0:

$\textrm{r: det}\left[\begin{array}{ccc}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x&y&1\end{array}\right] = 0$

Esta abordagem funciona pois, se (x1, y1), (x2, y2) e (x, y) pertencem a mesma reta, os vetores correspondentes precisam ser linearmente dependentes.

Substituindo (x1, y1) = (7, 0) e (x2, y2) = (0, 4), e então usando a regra de Sarrus para determinante, temos:

r: [ (7)(4)(1) + (0)(1)(x) + (1)(0)(y) ] - [ (x)(4)(1) + (y)(1)(7) + (1)(0)(0) ] = 0

r: 28 - 4x - 7y = 0

r: -7y = 4x - 28

r: y = -4x/7 + 4