Question

1. Prove utilizando uma demonstração direta que o número n(n+1)(n+2) é sempre divisível por 2.

2. Prove por redução ao absurdo que a raiz de 2 é um número irracional.

Answer 1

1. Suponha que $p$ seja um número par (múltiplo de 2) e que $q$ seja um número ímpar. Seja r um inteiro qualquer:

$p = 2 \cdot r$

$q = 2 \cdot r + 1$

O produto entre dois pares é par.

$p \cdot p = 2 \cdot r \cdot 2 \cdot r = 4 \cdot r^2$

O produto entre um ímpar e um par é par:

$p \cdot q = 2 \cdot r \cdot (2 \cdot r + 1) = 4 \cdot r^2 + 2 = 2 \cdot(2 \cdot r^2 + 1)$

(Qualquer número multiplicado por dois é múltiplo de 2)

O produto entre dois ímpares é ímpar:

$q \cdot q = (2 \cdot r + 1) \cdot (2 \cdot r + 1) = 4\cdot r^2 + 4\cdot r + 1$

(Os dois primeiros termos são pares e o último ímpar, a soma de par e ímpar é ímpar.)

Assim sendo, para que o resultado de um produto seja divisível por 2, basta que um dos termos desse produto seja par.

Considerando que n é par:

$n \cdot (n+1) \cdot (n+2) = 2 \cdot r \cdot (2 \cdot r +1) \cdot (2 \cdot r + 2)$

$n \cdot (n+1) \cdot (n+2) = 2 \cdot r \cdot (4 \cdot r^2 +6 \cdot r + 2)$

$n \cdot (n+1) \cdot (n+2) = 8 \cdot r^3 + 12 \cdot r^2 + 4 \cdot r$

$n \cdot (n+1) \cdot (n+2) = 4 \cdot (2 \cdot r^3 + 3 \cdot r^2 + r)$

O produto é divisível por 2.

Agora se n é ímpar:

$n \cdot (n+1) \cdot (n+2) = (2 \cdot r + 1)\cdot (2 \cdot r +2) \cdot (2 \cdot r + 3)$

$n \cdot (n+1) \cdot (n+2) = (2 \cdot r + 1) \cdot (4 \cdot r^2 +10 \cdot r + 6)$

$n \cdot (n+1) \cdot (n+2) = 8 \cdot r^3 + 24 \cdot r^2 + 22 \cdot r + 6$

$n \cdot (n+1) \cdot (n+2) = 2 \cdot (4 \cdot r^3 + 12 \cdot r^2 + 11 \cdot r + 3)$

Ou seja, o produto continua sendo divisível por 2.

A resposta para o problema 2 pode ser encontrada aqui: https://brainly.com.br/tarefa/20972214