Question

lim [tg(x) – x]/(x-senx)
x-->0
Obrigada.

Answer 1

$L=\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\mathrm{tg\,}x-x}{x-\mathrm{sen\,}x}$


Temos uma indeterminação do tipo $0/0.$ Aplicando a regra de L'Hospital, temos que

(se o limite abaixo existir)

$L=\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\frac{d}{dx}(\mathrm{tg\,}x-x)}{\frac{d}{dx}(x-\mathrm{sen\,}x)}\\ \\ \\ =\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\sec^{2}x-1}{1-\cos x}$


Ainda temos uma indeterminação do tipo $0/0.$ Aplicando a regra de L'Hospital mais uma vez, temos que

(se o limite abaixo existir)

$L=\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\frac{d}{dx}(\sec^{2}x-1)}{\frac{d}{dx}(1-\cos x)}\\ \\ \\ =\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{2\sec x\cdot \frac{d}{dx}(\sec x)}{\mathrm{sen\,}x}\\ \\ \\ =\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{2\sec x\cdot \sec x\,\mathrm{tg\,}x}{\mathrm{sen\,}x}\\ \\ \\ =\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{2\sec^{2}x\,\mathrm{tg\,}x}{\mathrm{sen\,}x}\\ \\ \\ =\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}\;2\sec^{2}x\cdot \mathrm{tg\,}x\cdot \dfrac{1}{\mathrm{sen\,}x}\\ \\ \\ =\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}\;2\sec^{2}x\cdot \dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\cdot \dfrac{1}{\mathrm{sen\,}x}\\ \\ \\ =\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}\;2\sec^{2}x\cdot \dfrac{1}{\cos x}$

$=\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}\;2\sec^{2}x\cdot \sec x\\ \\ \\ =\underset{x\to 0}{\mathrm{\ell im}}\;2\sec^{3}x\\ \\ \\ =2\cdot \sec^{3}0\\ \\ =2\cdot 1^{3}\\ \\ =2$