Question

Já na posição A há muito tempo, a chave na Figura é mudada para a posição A em $t = 0$. Determine:

a) $v(t)$ para $t$ > 0 e

b) $v_R (t)$ para $t$ > 0

Answer 1

Este é o Problema Prático 8.7 do livro do Sadiku, 5ª edição.

Então, primeiramente vamos considerar o caso em que a chave se encontra na posição a.

Nesse caso, o circuito conectado é mostrado na primeira figura em anexo. O nosso interesse está em descobrir a tensão inicial no capacitor, antes da chave mudar de posição.

Como o circuito está nessa condição há muito tempo, o capacitor pode ser trocado por um circuito aberto. E a tensão sobre ele é a mesma do resistor de $2 \text{ }\Omega$. Calculando o divisor de tensão:

$V_C(0^-) = \dfrac{V_s \cdot R_{2 \Omega}}{R_{1 \Omega} + R_{2 \Omega}}$

$V_C(0^-) = \dfrac{18 \cdot 2}{1 + 2}$

$V_C(0^-) = \dfrac{18 \cdot 2}{3}$

$V_C(0^-) = 12\text{ V}$

Ok, agora em $t = 0\text{ s}$, a chave muda de posição e o nosso circuito equivalente é o mostrado pela segunda figura em anexo.

Ou seja, é um RLC série.

Como é um circuito de segunda ordem, tem outro parâmetro que nos interessa descobrir: $V_C'(0)$: A derivada da tensão inicial no capacitor.

Normalmente, nesse tipo de circuito nós primeiramente descobrimos $i_L(0)$ e então utilizamos a relação:

$i_L(t) = i_C(t) = C \cdot \dfrac{dV_C(t)}{dt}$

Para extrair:

$\dfrac{dV_C(0)}{dt} = \dfrac{i_L(0)}{C}$

Contudo, como a chave esteve na posição A inicialmente, e a parte em que o indutor está termina em um circuito aberto. A corrente inicial no indutor é nula, bem como:

$V_C'(0) = 0\text{ V}$

(A partir daqui vou pular algumas deduções, a análise completa do meu método está no arquivo PDF em anexo. Eu acho que o método do livro é mais simples de entender. Então sugiro que siga o livro como referência).

O próximo passo é calcularmos as duas raízes, $r_1$ e $r_2$ da equação:

$s^2 + \dfrac{R}{L} \cdot s + \dfrac{1}{L \cdot C}$

Pela equação de Bhaskara, chegaremos a:

$r = -\dfrac{R}{2 \cdot L} \pm \sqrt{\left(\dfrac{R}{2 \cdot L}\right)^2 - \dfrac{1}{L \cdot C}}$

Substituindo os valores do circuito:

$r = -\dfrac{10}{2 \cdot 2.5} \pm \sqrt{\left(\dfrac{10}{2 \cdot 2.5}\right)^2 - \dfrac{40}{2.5}}$

$r = -2 \pm \sqrt{4 - 16}$

$r = -2 \pm \sqrt{-12}$

$r= -2 \pm i \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$

$r_1= -2 + i \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$

e:

$r_{2} = -2 - i \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$

Ok, descobrimos que o nosso sistema é subamortecido. Possui dois pólos complexos. Logo, a solução será da forma:

$V_C(t) = V_s + (V_C(0) - V_s) \cdot e^{a \cdot t} \cdot cos(b \cdot t) -\dfrac{1}{b} \cdot \left[(V_C(0) - V_s) \cdot a - V_C'(0) \right] \cdot e^{a \cdot t} \cdot sen(b \cdot t)$

Onde:

$a$ é a parte real da raiz (-2);

$b$ é a parte imaginária da raiz ($2 \cdot \sqrt{3}$).

Assim, podemos calcular a resposta desse circuito:

a)

$V_C(t) = 15 + (12 - 15) \cdot e^{-2 \cdot t} \cdot cos(2\cdot \sqrt{3} \cdot t) -\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{3}} \cdot \left[(12-15) \cdot (-2) - 0 \right] \cdot e^{-2 \cdot t} \cdot sen(2\cdot \sqrt{3} \cdot t)$

$V_C(t) = 15 -3 \cdot e^{-2 \cdot t} \cdot cos(2\cdot \sqrt{3} \cdot t) -\dfrac{3}{\sqrt{3}}\cdot e^{-2 \cdot t} \cdot sen(2\cdot \sqrt{3} \cdot t)$

$\boxed{V_C(t) = 15 -(3 \cdot cos(2\cdot \sqrt{3} \cdot t) + \sqrt{3} \cdot sen(2 \cdot \sqrt{3} \cdot t))\cdot e^{-2 \cdot t} \text{ , }t > 0\text{ s}}$

b)

Ok, agora a tensão sobre o resistor de $10\text{ }\Omega$ é dada pela Lei de Ohm:

$v_R(t) = R \cdot i_L(t)$

e, como:

$i_L = i_C = C \cdot \dfrac{dV_C(t)}{dt}$

Descobrimos que:

$v_R(t) = R \cdot C \cdot \dfrac{dV_C(t)}{dt}$

Assim, teremos de derivar a equação obtida na parte a)

$v_R(t) = 10 \cdot \dfrac{1}{40} \cdot \left[(3 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3}) \cdot e^{-2 \cdot t} \cdot sen(2 \cdot \sqrt{3} \cdot t) \right]$

$v_R(t) =\dfrac{8 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot e^{-2 \cdot t} \cdot sen(2 \cdot \sqrt{3} \cdot t)$

$\boxed{v_R(t) = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot e^{-2 \cdot t} \cdot sen(2 \cdot \sqrt{3} \cdot t)\text{ , } t > 0\text{ s}}$

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