Question

TRIGONOMETRIA SE ALGUÉM ME AJUDAR EU FICARIA MUITO GRATA ❤️

determine o valor de y para que se tenha simultaneamente sen y = z e cos y = z+1.

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre trigonometria.

Pela identidade fundamental da trigonometria, para um ângulo $\alpha$ qualquer, $\rm{sen}^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$.

Substituindo $\rm{sen}(y)=z$ e $\cos(y)=z+1$, temos:

$z^2+(z+1)^2=1$

Expanda o binômio, sabendo que $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$z^2+z^2+2z+1=1$

Some os termos semelhantes e subtraia $1$ em ambos os lados da igualdade

$2z^2+2z=0$

Fatoramos a equação pondo $2z$ em evidência

$2z\cdot(z+1)=0$

Então, sabendo que o produto de dois ou mais fatores é igual a zero se ao menos um de seus fatores o é, teremos as soluções para $z$:

$2z=0~~\bold{ou}~~z+1=0$

Resolvendo as equações, temos:

$z=0~~\bold{ou}~~ z=-1$

Assim, devemos determinar os valores de $y$ que satisfaçam simultaneamente:

$\begin{cases}\rm{sen}(y)=0\\\cos(y)=1\\\end{cases}~~\bold{ou}~~\begin{cases}\rm{sen}(y)=-1\\\cos(y)=0\\\end{cases}$

Dos estudos sobre a circunferência trigométrica, facilmente concluímos que:

$y=0+2k\pi~~\bold{ou}~~ y=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi,~k\in\mathbb{Z}$

Estas são as soluções que buscávamos.