Question

(UFRS) O sistema linear é possível é determinado se e somente se:
{x-y=1
{4x+my=2
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Answer 1

Resolução da questão, veja bem:

Resolver o sistema:

$\left\{\begin{matrix}\sf{x-y=1} & \\ \sf{4x+my=2} & \end{matrix}\right.$

Para resolver esse sistema, usarei a regra de Cramer, a qual faz uso dos determinantes, observe.

Inicialmente montamos a matriz das variáveis x e y e em seguida calculamos seu determinante:

$\sf{\Delta_0=\begin{vmatrix}\sf{1} &\sf{-1} \\ \sf{4} & \sf{m}\end{vmatrix}=>Det(\Delta_0)=m+4}$

Agora substituímos a primeira coluna da matriz Δ₀ pelos termos independentes do sistema e calculamos novamente o determinante:

$\sf{\Delta_1=\begin{vmatrix}\sf{1} &\sf{-1} \\ \sf{2} & \sf{m}\end{vmatrix}=>Det(\Delta_1)=m+2}$

Agora substituímos a segunda coluna da matriz Δ₀ pelos termos independentes do sistema e calculamos novamente o determinante:

$\sf{\Delta_2=\begin{vmatrix}\sf{1} &\sf{1} \\ \sf{4} & \sf{2}\end{vmatrix}=>Det(\Delta_2)=-4+2}\\ \\ \\ Det(\Delta_2)=-2$

Agora calculamos os valores das variáveis x e y, por meio das relações abaixo:

$\sf{x=\dfrac{|\Delta_1|}{|\Delta_0|}}~;~\sf{y=\dfrac{|\Delta_2|}{|\Delta_0|}}$

Teremos então que:

$\sf{x=\dfrac{|\Delta_1|}{|\Delta_0|}~=>~x=\dfrac{m+2}{m+4}}\\ \\ \\ \sf{y=\dfrac{|\Delta_2|}{|\Delta_0|}~=>~y=\dfrac{-2}{m+4}}$

Vamos encontrar agora aonde os valores de x e de y são definidos, por meio do domínio das funções:

Para x :

m + 4 ≠ 0

m ≠ - 4

Para y :

m + 4 ≠ 0

m ≠ - 4

Ou seja, pode-se concluir que esse sistema só existirá se m ≠ - 4

Espero que te ajude!!

Alternativa C é a correta!!

Bons estudos!!