Question

A soma de três números em progressão geométrica é 19. Diminuindo 1 (um) ao primeiro

termo, eles passam a forma uma progressão aritmética. Determine os três termos.


Por favor mostre todos os passos

Answer 1

Resposta:

4, 6, 9

Explicação passo a passo:

a + b + c = 19     (pois a soma é 19)

b/a = c/b     (pois estão em PG)

a - 1, b, c estão em progressão aritmética, então:

b - (a - 1) = c - b

   b/a = c/b

   a + b + c = 19

   b - (a - 1) = c - b

b/a = c/b

Regra de Três Simples:

bb = ac

b² = ac

b = √ac

b - (a - 1) = c - b

- (a - 1) = c - b - b

- (a - 1) = c - 2b

a - 1 = - c + 2b

a = - c + 2b + 1

a = - c + 2b + 1

a = - c + 2√ac + 1

Reescrever a equação com √ac = b:  

   Reescrever para c:

   √ac = b

   ac = b²

   c = b²/a

a = - (b²/a) + 2b + 1

- (b²/a) + 2b + 1 - a = 0

Para ax² + bx + c = 0:

a = - 1/a    b = 2    c = 1 - a

Fórmula de Bhaskara:  

x = (-b ± √(b² - 4 • a • c)) / (2 • a)

b = (-2 ± √(2² - 4 • (- 1/a) • (1 - a))) / (2 • (- 1/a))

b = (-2 ± √(2² + 4 • 1/a • (1 - a))) / (2 • (- 1/a))

b = (-2 ± √(2² + 4/a • (1 - a))) / (2 • (- 1/a))

b = (-2 ± √(2² + (4 • (1 - a)) /a ) / (2 • (- 1/a))

b = (-2 ± √((2²a) /a + (4 • (1 - a)) /a ) / (2 • (- 1/a))

b = (-2 ± √((2²a + 4 • (1 - a)) /a )) / (2 • (- 1/a))

b = (-2 ± √((4a + 4 • (1 - a)) /a )) / (2 • (- 1/a))

b = (-2 ± √((4a + 4 - 4a) /a )) / (2 • (- 1/a))

b = (-2 ± √(4/a)) / (2 • (- 1/a))

b = (-2 ± √(4) /√a ) / (2 • (- 1/a))

b = (-2 ± √(2²) /√a ) / (2 • (- 1/a))

b = (-2 ± 2/√a ) / (2 • (- 1/a))

b = (-2 ± 2√a/√a.√a ) / (2 • (- 1/a))

b = (-2 ± (2√a) /a ) / (2 • (- 1/a))

b = (-2 ± (2√a) /a ) / (2 • (- 1/a))

b = (-2 ± (2√a) /a ) / (2 • (- 1/a))

b = -(-2 ± (2√a) /a ) / (2 • 1/a)

b = -((-2a)/a ± (2√a) /a ) / (2 • 1/a)

b = -((-2a ± 2√a) /a ) / (2 • 1/a)

b = -(-2a ± 2√a) / (2 • 1/a).a

b = -(-2a ± 2√a) / (2 • a/a)

b = -(-2a ± 2√a) / (2 • 1)

b = -(-2a ± 2√a) / 2

b = -(-a ± √a)

b = a ± √a

√ac = b

ac = b²

a = b²/c

c = b²/a

c = (a ± √a)²/a

c = (a² ± 2a√a + a) / a

c = a ± 2√a + 1

a + b + c = 19

a + (a ± √a) + (a ± 2√a + 1) = 19

a + (a + √a) + (a + 2√a + 1) = 19

a + a + √a + a + 2√a + 1 = 19

3a + 3√a + 1 = 19

3a + 3√a + 1 - 19 = 0

3a + 3√a - 18 = 0

(3a + 3√a - 18)² = 0

(3a + 3√a - 18).(3a + 3√a - 18) = 0

9a² + 18a√a - 99a - 108√a + 324 = 0

9a² - 117a + 324 = 0

a = (-b ± √(b² - 4 • a • c)) / (2 • a)

a = (-(-117) ± √((-117)² - 4 • 9 • 324)) / (2 • 9)

a = (117 ± √(13689 - 11664)) / 18

a = (117 ± √2025) / 18

a = (117 ± √45²) / 18

a = (117 ± 45) / 18

a = (117 + 45) / 18

a = 162 / 18

a = 9

b = a ± √a

b = 9 - √9

b = 9 - 3

b = 6

c = b²/a

c = 6²/9

c = 36/9

c = 4

------------------------------------

b/a = c/b

6/9 = 4/6

(6/9)/3 = (4/6)/2

2/3 = 2/3

a + b + c = 19

9 + 6 + 4 = 19

15 + 4 = 19

19 = 19

b - (a - 1) = c - b

6 - (9 - 1) = 4 - 6

6 - 8 = - 2

- 2 = - 2