Question

Considere a expressão:
$\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5} } + \sqrt{5} - \sqrt{7}$
Simplificando essa expressão, obtemos
A) 2√2
B) 2√3
C) 2√5
D) 2√6​​

Answer 1

Resposta:

C)  2 √5

Explicação passo a passo:

Simplificar

$\frac{2}{\sqrt{7} -\sqrt{5} } +\sqrt{5} -\sqrt{7}$

Para simplificar esta expressão numérica vou em primeiro lugar

racionalizar o denominador da fração.

Para o racionalizar vou multiplicar o numerador e denominador da fração

por $\sqrt{7} +\sqrt{5}$  .

$\frac{2*(\sqrt{7} +\sqrt{5} )}{(\sqrt{7} -\sqrt{5})* ( \sqrt{7} +\sqrt{5)} } +\sqrt{5} +\sqrt{7}$

O $\sqrt{7} +\sqrt{5}$ chama-se o conjugado de $\sqrt{7} -\sqrt{5}$.

Observação 1 → O que é o conjugado de uma expressão com 2  parcelas.

Num conjugado de uma expressão o que muda é apenas o sinal da

segunda parcela.

Ao se fazer isto vai-se provocar , no denominador, o aparecimento de uma

diferença de dois quadrados.( que é um produto notável )

Observação  2 → Diferença de dois quadrados

a² - b² = ( a + b ) * ( a - b)

Mas se estiver :

( a + b ) * ( a - b)  é necessário perceber que podemos passar para

" a² - b² ".

É isto que se vai acontecer a seguir .

Cálculo auxiliar  para o denominador da fração :

$(\sqrt{7} -\sqrt{5})* (\sqrt{7} +\sqrt{5})=(\sqrt{7}) ^{2} -(\sqrt{5}) ^{2} =7-5 = 2$  

Fim de cálculo auxiliar

Observação 3 → Raiz quadrada elevada ao quadrado

Como a potenciação e a radiciação são operações inversas, cancelam-se

mutuamente, quando aplicadas ao mesmo tempo.  

No numerador vou utilizar a propriedade distributiva da multiplicação em

relação à adição algébrica.

$\frac{2*\sqrt7 +2\sqrt{5} }{2} } +\frac{\sqrt{5}-\sqrt{7} }{1}$

Coloquei " 1 " no denominador $\sqrt{5} -\sqrt{7}$ para ser visível ver a outra fração.

Não há problema algum de que o denominador seja 1.

Qualquer valor a dividir por 1 dá o valor inicial.

Mudei apenas a forma , mas não o valor.

Para adicionar frações, os denominadores têm de ser iguais.

É necessário multiplicar o numerador e o denominador ( desta nova fração )

por 2.

$\frac{2*\sqrt7 +2\sqrt{5} }{2} } +\frac{2*(\sqrt{5}-\sqrt{7}) }{1*2}$

$\frac{2*\sqrt7 +2\sqrt{5} }{2} } +\frac{2*\sqrt{5}-2\sqrt{7} }{1*2}$

Usei no numerador da segunda fração a propriedade distributiva da

multiplicação em relação à adição algébrica ( inclui adição e subtração ).

Agora que as frações têm o mesmo denominador, podem ser adicionadas.

Sem retirar o denominador.

Observação  4 →  Mantém-se o denominador e adicionam.se os

numeradores.

$\frac{2*\sqrt7 +2\sqrt{5} }{2} } +\frac{2*\sqrt{5}-2\sqrt{7} }{1*2}=\frac{2\sqrt{7}+2\sqrt{5}+2\sqrt{5}-2\sqrt{7} }{2}=\frac{4\sqrt{5} }{2} =\frac{4:2\sqrt{5} }{2:2}=\frac{2\sqrt{5} }{1} =2\sqrt{5}$

Cálculos auxiliares:

$2\sqrt{7} -2\sqrt{7}$

são opostos ( = a simétricos ) cancelam-se na adição dos dois

Bons estudos.

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( * ) multiplicação