Question

Determine a equação da reta que passa nos pontos A(1,3) e B(2,7)

Answer 1

$\texttt{Ol\'a! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$

❏ Uma equação da reta tem a seguinte forma:

$\huge \underline{ \boxed{\tt y = mx + n \: }}$

❏ Observe que os pontos correspondem a uma aplicação de x numa equação da reta, gerando assim um valor y. Por esse ponto pertencer ao plano xy, o ponto é representado por um valor de x e outro de y:

$\large \tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: A( \stackrel{x}{1} , \stackrel{y}{3}) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: B( \stackrel{x}{2} , \stackrel{y}{7})$

❏ Sabendo disso, podemos montar duas equações usando os pontos A e B de modo a encontrar valores de m e n que formem as equações da reta pertencente a esses pontos.

i) Ponto A →

$\large \tt y = mx + n \Rightarrow \\ \large \tt 3 = m \cdot 1 + n \: \: \\ \large \underline{\boxed{\tt \therefore\:m + n = 3}}$

ii) Ponto B →

$\large \tt y = mx + n \Rightarrow \: \\ \large \tt 7 = m \cdot 2 + n \: \: \: \\ \large \underline{\boxed{\tt \therefore\:2m + n = 7}}$

❏ Encontramos duas expressões, uma para cada ponto, nosso objetivo é formar uma equação única que contenha os dois pontos em sua reta, para isso, m e n devem se relacionar nos dois pontos, dessa forma faz sentido elaborar um sistema linear para encontrar esses valores de m e n.

$\large\begin{cases} \tt m + n = 3 \: \: \: \: {\small( - 1 )}\\ \tt 2m + n = 7\end{cases}$

❏ Note que para resolver esse sistema pelo método da soma, basta multiplicar a primeira linha ( Equação ) por -1, por exemplo

$\underline{_{_{ {\large+}}}\large\begin{cases} \tt - m - \cancel{ n} = - 3 \\ \tt 2m + \cancel n = 7\end{cases}} \\ \large \tt m = 4 \: \: \: \:$

❏ Substituindo m em m + n = 3, temos

$\large \tt m + n = 3 \Rightarrow4 + n = 3\\ \large \tt n = 3 - 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \underline{\boxed{\tt \therefore\:m = 4 \wedge n = - 1}} \: \: \: \: \:$

❏ Com os valores de m e n podemos determinar a equação da reta, tomando y = mx + n, logo:

$\huge \red{\underline{ \boxed{\tt \therefore \: y = 4x - 1}}}$