Question

Sabe-se que os números distintos P,q e r são raízes do polinômio:
$\begin{array}{c}\sf p(x)=x^3+bx^2+cx\end{array}$ e que $\begin{array}{c}\sf\dfrac{(x-2p)(x^2-px-rx+pr)}{3x^2-9px+6p^2}=\dfrac{x-2}{3}\end{array}$ Com x≠2p x≠p,p+q=r-q,nessas condições é correto afirmar que [tex]\sf 3-2b+c é igual a:

A)15
B)13
C)11
D)10
E)9​

Answer 1

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⠀⠀É correto afirmar que 3 – 2b + c = 11, logo a resposta correta se enquadra na alternativa c) 11.

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⠀⠀De início vamos analisar o enunciado e extrair tudo de importância que nos foi dado: a questão nos diz que p, q e r são raízes DISTINTAS do polinômio P(x) = x³ + bx² + cx [as raízes nesse contexto são os valores para x que tornam verdade P(x) = 0, e como elas são distintas temos a condição p ≠ q ≠ r (nenhuma raiz pode se repetir)]; a questão nos fornece uma equação algébrica que envolve essas raízes; a questão nos fornece a relação p + q = r – q; e por fim, com esses dados devemos encontrar o valor de 3 – 2b + c.

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⠀⠀Primeiramente, vamos focar na equação polinomial cúbica P(x) = 0. Veja que ela é incompleta, pois de seus coeficientes temos a = 1, b = b, c = c e d = 0. Assim instantaneamente podemos dizer que 0 (zero) é raiz, pois colocando o fator comum em evidência iremos obter um produto de dois fatores e, como esse produto é igual a zero, um desses fatores deverá obrigatoriamente ser igual a zero:

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$\begin{array}{l}\implies~~~\sf x^3+bx^2+cx=0\\\\\\\sf\implies~~~x(x^2+bx+c)=0\\\\\\\sf\implies~~~x=0~~~\vee~~~x^2+bx+c=0\end{array}$

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⠀⠀Por ora sabemos apenas que uma raiz é nula, mas ainda não iremos atribuir valor à nenhuma das letras p, q ou r.

⠀⠀Para encontrar o valor das outras raízes podemos mexer um pouco naquela igualdade algébrica para descobrir alguma coisa... fazendo uma breve análise percebo que é possível fatorar, portanto vamos fazer isso:

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$\begin{array}{l}\implies~~~\sf\dfrac{(x-2p)(x^2-px-rx+pr)}{3x^2-9px+6p^2}=\dfrac{x-2}{3}\\\\\\\sf\implies~~~\dfrac{(x-2p)(x^2-px-rx+pr)}{3(x^2-3px+2p^2)}=\dfrac{x-2}{3}\\\\\\\sf\implies~~~\dfrac{(x-2p)(x^2-px-rx+pr)}{3(x^2-px-2px+2p^2)}=\dfrac{x-2}{3}\\\\\\\sf\implies~~~\dfrac{(x-2p)(x^2-px-rx+pr)}{3[x(x-p)-2p(x-p)]}=\dfrac{x-2}{3}\\\\\\\sf\implies~~~\dfrac{\cancel{(x-2p)}(x^2-px-rx+pr)}{3(x-p)\cancel{(x-2p)}}=\dfrac{x-2}{3}\\\\\\\sf\implies~~~\dfrac{x^2-px-rx+pr}{3(x-p)}=\dfrac{x-2}{3}\end{array}$

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⠀⠀Ainda é possível cancelar mais coisa fatorando o numerador:

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$\begin{array}{l}\implies~~~\sf\dfrac{x(x-p)-r(x-p)}{3(x-p)}=\dfrac{x-2}{3}\\\\\\\sf\implies~~~\dfrac{\cancel{(x-p)}(x-r)}{3\cancel{(x-p)}}=\dfrac{x-2}{3}\\\\\\\sf\implies~~~\dfrac{x-r}{3}=\dfrac{x-2}{3}\end{array}$

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⠀⠀Olha só o que encontramos! Sendo essas duas expressões iguais, podemos afirmar que r = 2. Agora nós podemos usar aquela relaçãozinha pra encontrar o valor de outra raiz, só que precisamos atribuir a raiz nula para p ou q. Fazendo p = 0 vamos ter:

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$\begin{array}{l}\implies~~~\sf p+q=r-q\\\\\\\sf\implies~~~(0)+q=(2)-q\\\\\\\sf\implies~~~0+q=2-q\\\\\\\sf\implies~~~q+q=2\\\\\\\sf\implies~~~2q=2\\\\\\\sf\implies~~~q=\dfrac{2}{2}\\\\\\\sf\implies~~~q=1\end{array}$

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⠀⠀Agora se fazermos q = 0 iremos entrar em conflito, pois ela irá implicar em r = p = 2, e como foi supracitado as raízes não podem repetir-se, posto que p ≠ q ≠ r. Portanto, estabelecemos p = 0, q = 1 e r = 2.

⠀⠀Agora nós precisamos encontrar o valor dos coeficientes ‘‘b’’ e ‘‘c’’ do polinômio, e para isso podemos pensar em determinar a lei de formação de P(x) através das suas raízes. ‘‘Mas como assim?’’ Bem, a lei de formação de um polinômio cúbico univariado mônico P(x) que admite os números p, q e r como raízes é igual a: (x – p)(x – q)(x – r). Ou seja, se x = p, x = q e x = r são raízes de P(x), então é verdade que x – p = 0, x – q = 0 e x – r = 0. Logo, também é verdade que: P(x) = (x – p)(x – q)(x – r) [nesse caso assim como o da questão, o coeficiente ‘‘a’’ (que multiplica x³) é igual a 1]. Isto posto, se p = 0, q = 1 e r = 2, temos que ter:

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$\begin{array}{l}\implies~~~\sf P(x)=(x-0)(x-1)(x-2)\\\\\\\sf\implies~~~P(x)=(x)(x-1)(x-2)\\\\\\\sf\implies~~~P(x)=x[(x)^2-(1+2)x+1\cdot2]\\\\\\\sf\implies~~~P(x)=x(x^2-3x+2)\\\\\\\sf\implies~~~P(x)=x^3-3x^2+2x\end{array}$

⠀⠀Como b = – 3 e c = 2, o valor desejado da expressão proposta será:

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$\begin{array}{l}=\sf~~3-2b+c\\\\\\\sf=~~3-2\cdot(-\,3)+2\\\\\\\sf=~~3+6+2\\\\\\\sf=~~11\end{array}$

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⠀⠀Assim terminamos a resolução, pois podemos concluir que a alternativa c) 11 responde a questão.

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

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           $\large\boldsymbol{O\beta r\iota g\alpha d\theta~\rho el\alpha~q\upsilon es\tau\alpha\theta~e~\upsilon m~cord\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!~\heartsuit}$