Question

(Olimpíada Bras. de Matemática) Se x + y = 8 e xy = 15, qual é o valor de x² + 6xy + y²? *


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Answer 1

O valor de x² + 6xy + y² é igual a 124.

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Para a resolução desta questão, é importante o conhecimento do seguinte produto notável:

$\Large(x+y)^2=x^2+2xy+y^2,$

chamado de quadrado da soma de dois termos.

A partir desse produto notável, é possível concluir que:

$\Largex^2+y^2=(x+y)^2-2xy.$

Assim sendo, podemos escrever:

$\Large\begin{aligned}x^2+6xy+y^2&=x^2+y^2+6xy\\\\&=(x+y)^2-2xy+6xy\\\\&=(x+y)^2+4xy.\end{aligned}$

Como x + y = 8 e xy = 15, segue que:

$\Large\begin{aligned}x^2+6xy+y^2&=(x+y)^2+4xy\\\\&=8^2+4\cdot15\\\\&=64+60\\\\&=124.\end{aligned}$

Portanto,

$\Large\boxed{\boxed{x^2+6xy+y^2=124.}}$

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Espero ter ajudado!

Para ver uma questão semelhante, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/44694913

Answer 2

Resposta:

O valor de "x² + 6xy + y²" é igual a 124.

A 3ª opção é a opção correta.

Por favor, acompanhar a Explicação.

Explicação passo-a-passo:

A Tarefa nos apresenta duas equações:

$(I):~x+y=8\\(II):~xy=15$

Para a resolução da Tarefa, será utilizado o conhecimento do produto notável que representa o quadrado da soma:

• Dados dois números "a" e "b", o resultado do quadrado de sua soma será:

${(a + b)}^{2} = {a}^{2} + 2ab + {b}^{2}$

Assim, vamos elevar todos os termos da Equação (I) ao quadrado:

$(I):~x+y=8 \\ {(x + y)}^{2} = {(8)}^{2}$

Agora, façamos o desenvolvimento do produto notável (x + y)²:

${(x + y)}^{2} = {(8)}^{2} \\ {x}^{2} + 2xy + {y}^{2} = 64 \\ (III):~ {x}^{2} + 2xy + {y}^{2} = 64$

Comparando-se a Equação (III) com a equação cujo resultado desejamos determinar, x² + 6xy + y², teremos:

$(III):~{x}^{2} + 2xy + {y}^{2} = 64 \\ {x}^{2} + 6xy + {y}^{2} = ?$

Seguiremos na resolução da Tarefa:

${x}^{2} + 6xy +{y}^{2} = \\{x}^{2} + 2xy + 4xy +{y}^{2} =\\{x}^{2} + 2xy + {y}^{2} + 4xy = \\ 64 + 4xy =$

Através da Equação (II), sabemos que o valor do produto "xy" é igual a 15. Portanto:

$64 + 4xy = \\ 64 + 4.(15) = \\ 64 + 60 = \\ 124$

Logo, o valor de "x² + 6xy + y²" é igual a 124.

A 3ª opção é a opção correta.