Question

Encontre a derivada da seguinte função: f(x) = x² - 1 / x² + 1

Answer 1

A derivada da função $F(x)= \dfrac{x^2-1}{x^2+1}$ é   $\boxed{\dfrac{4x}{(x^2+1)^2}}$

• Mas, como chegamos nessa reposta?

Temos que achar a derivada da seguinte função $F(x)= \dfrac{x^2-1}{x^2+1}$

Antes de começarmos a derivar precisamos saber algumas regras e propriedades das derivadas

• REGRA DO QUOCIENTE

$\dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{F(x)}{G(x)}\right) =\dfrac{\dfrac{dy}{dx}(F(x))\cdot G(x)-F(x)\cdot \dfrac{dy}{dx}(G(x))}{(G(x))^2}$

• DERIVAD DA CONSTANTE

  $\dfrac{d}{dx} (N)= 0$

• DERIVAD DA POTÊNCIA

   $\dfrac{d}{dx} (X^N)= N\cdot X^{N-1}$

Com isso em mente vamos derivar essa função

$\dfrac{dy}{dx} \left(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\right)$

$\dfrac{\dfrac{dy}{dx}(x^2-1)\cdot (x^2+1)-(x^2-1)\cdot \dfrac{dy}{dx}(x^2+1)}{(x^2+1)^2}$

$\dfrac{2x\cdot (x^2+1)-(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$

$\dfrac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1)^2}$

$\dfrac{+2x+2x}{(x^2+1)^2}\\\\\\\boxed{\dfrac{4x}{(x^2+1)^2}}$

essa é a forma mais simplificada da derivada da função $F(x)= \dfrac{x^2-1}{x^2+1}$

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