Question

Qual a função que a derivada é ln(x)?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\boxed{\int \ln( x) dx=x(\ln( x) -1) +C}}$

Explicação passo-a-passo:

Vamos calcular a seguinte integral indefinida

$\int \ln( x) dx$

Para tanto, usaremos a técnica da integração por partes. A integral passará a ser:

$\int udv=uv-\int vdu$

Faremos as seguintes substituições:

$u=\ln x\Longrightarrow \boxed{du=\frac{dx}{x}} \\ \ dv=1dx\Longrightarrow \boxed{v=x}$

Então:

$\int udv=uv-\int vdu\ \\ \int \ln( x) dx=\ln( x) \cdotp x-\int \cancel{x} \cdotp \frac{dx}{\cancel{x}} \ \\ \int \ln( x) dx=\ln( x) \cdotp x-x$

Colocando o x em evidência e adicionando a constante de integração:

$\boxed{\boxed{\int \ln( x) dx=x(\ln( x) -1) +C}}$