Question

Alguem me ajuda nessa

Encontre uma primitiva F(x) da funcão f(x) = x^e3x^2 , satisfazendo F(0) = 0.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

A primitiva de uma função $f(x)$ pode ser calculada pela integral: $\displaystyle{\int f(x)\,dx=F(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Então, substituindo $f(x)=x\cdot e^{3x^2}$, calculamos sua primitiva:

$\displaystyle{\int x\cdot e^{3x^2}\,dx$

Faça uma substituição $u=3x^2$. Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$:

$\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(3x^2)$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada de uma função $u=u(x)$ é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(u(x))=\dfrac{d}{du}(u(x))\cdot \dfrac{du}{dx}$.
• A derivada é um operador linear, logo vale que: $\dfrac{d}{dx}(\alpha\cdot g(x)+\beta\cdot h(x))=\alpha\cdot \dfrac{d}{dx}(g(x))+\beta\cdot \dfrac{d}{dx}(h(x))$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da cadeia e a linearidade

$\dfrac{d}{du}(u)\cdot\dfrac{du}{dx}=3\cdot\dfrac{d}{dx}(x^2)$

Aplique a regra da potência, sabendo que $u=u^1$

$1\cdot u^{1-1}\cdot\dfrac{du}{dx}=3\cdot2\cdot x^{2-1}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos. Lembre-se que $u^0=1,~\forall{u}\neq0$.

$\dfrac{du}{dx}=6x$

Isolamos o diferencial $du$

$du=6x\,dx$

Multiplique o integrando por um fator $\dfrac{6}{6}$ e substitua o termo encontrado acima

$\displaystyle{\int \dfrac{6}{6}\cdot x\cdot e^{u}\,dx}\\\\\\ \dfrac{1}{6}\cdot\displaystyle{\int e^u\,du}$

Para calcular esta integral, lembre-se que a integral da função exponencial é a própria função exponencial: $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x+C,~C\in\mathbb{R}}$.

$\dfrac{1}{6}\cdot(e^u+C_1)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e desfaça a substituição $u=3x^2$. Considere $\dfrac{C_1}{6}=C$, uma constante arbitrária.

$\dfrac{e^{3x^2}}{5}+C$

Por fim, usando a condição de contorno $F(0)=0$, temos:

$\dfrac{e^{3\cdot 0^2}}{6}+C=0\\\\\\ \dfrac{1}{6}+C=0\\\\\\ C=-\dfrac{1}{6}$

Então, a primitiva desta função que satisfaz esta condição de contorno é:

$\boxed{F(x)=\dfrac{e^{3x^2}-1}{6}}~~\checkmark$