Question

${(3 - \sqrt{8}) }^{ \frac{x}{2} } + {(3 + \sqrt{8}) }^{ \frac{x}{2} } = 6$
Resolva a equação​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Equação exponencial

Olá @AlexandreNtema

A questão é bem simples só precisa d'uma pequena astúcia.

Nos é dado que :

$~~~~\sf{\left(3-\sqrt{8}\right)^{\frac{x}{2}}+\left(3+\sqrt{8}\right)^{\frac{x}{2}}~=~6 }$

primeiro podemos reescrever a equação em forma de radicais um vez que temos expoentes fracionários .

$\iff \sf{ \sqrt{\left(3-\sqrt{8}\right)^x}+\sqrt{\left(3+\sqrt{8}\right)^x}~=~6 }$

veja que: $\sf{3-\sqrt{8}~=~\dfrac{\left(3-\sqrt{8}\right)\left(3+\sqrt{8}\right)}{\left(3+\sqrt{8}\right)}~=~\dfrac{1}{3+\sqrt{8}} }$

Daí que :

$\iff \sf{ \sqrt{\dfrac{1}{\left(3+\sqrt{8}\right)^x}}+\sqrt{\left(3+\sqrt{8}\right)^x}~=~6 }$

Seja: $\sf{\left(3+\sqrt{8}\right)^x~=~A^2 }$

Então ficamos com: $\sf{ \dfrac{1}{A}+A~=~6 }$

$\iff\sf{ A^2-6A+1~=~0 }$

$\iff\sf{ A^2-6A+9-8~=~0 }$

$\iff\sf{ \left(A-3\right)^2~=~8 }$

$\iff\sf{ A~=~\pm\sqrt{8}+3 }$

$\red{\iff \sf{A~=~3-\sqrt{8}~\vee~A~=~3+\sqrt{8} } }$

Voltando para nossa suposição:

$\iff\sf{ \left(3+\sqrt{8}\right)^x~=~A^2~=~\left(3+\sqrt{8}\right)^2 }$

$\green{\iff \boxed{\boxed{\sf{x~=~ 2 } } } }$

This answer was elaborad by:

Murrima , Joaquim Marcelo

UEM(Moçambique)-DMI

Answer 2

DETERMINANTES

Para resolvermos esta equação matricial, usaremos a mesma técnica para calcularmos os determinantes de ordem 2x2,(a diferença do produto da diagonal principal pelo produto da diagonal secundária) veja:

|x x|= -6

|5 x| ==> x*x-5*x= -6==> x²-5x=-6==> x²-5x+6=0 ( Equação do 2° grau)

utilizando a fórmula de delta, temos: delta=b²-4ac==> delta= (-5)²-4*1*6==> delta=25-24==> delta=1

agora vamos utilizar a fórmula de Bháskara:

x=-b+-raiz de delta/2a==> x=-(-5)+-raiz de 1/2*1==> x=5+-1/2==> x'=5-1/2==> x'=4/2==> x'=2 <===> x"=5-1/2==> x"=6/2==> x"=3

Verificando se é verdadeiro o valor de x'=2, temos:

|x' x'|= -6 |2 2|= -6

|5 x'| ==> |5 2| ==> 2*2-2*5= -6==> 4-10= -6==> -6=-6

x'=2 pertence ao conjunto verdade

Verificando se é verdadeiro o valor de x"=3, temos:

|x" x"|= -6 |3 3|

|5 x"| ==> |5 3|==> 3*3-3*5=-6==> 9-15=-6==> -6=-6

x"=3, pertence ao conjunto verdade

Solução: x'=2 e x"=3