Question

Achar as coordenadas dos pontos da curva y²= (5/2)(x+1) que está mais próximo da origem. Resp. (-1,0). Obrigada.

Answer 1

Temos uma curva no plano $\mathbb{R}^{2}$ que satisfaz a equação

$y^{2}=\frac{5}{2}\,(x+1)$


Note que o lado esquerdo nunca pode ser negativo. Sendo assim, segue que

$\frac{5}{2}\,(x+1)\geq 0~\Rightarrow~x+1\geq 0~\Rightarrow~x\geq -1.$


Esta curva é uma parábola. Colocando $x$ em função de $y,$ temos

$2y^{2}=5\,(x+1)\\ \\ 2y^{2}=5x+5\\ \\ 5x=2y^{2}-5\\ \\ \diagup\!\!\!\! 5x=\diagup\!\!\!\! 5\cdot \left(\frac{2}{5}\,y^{2}-1 \right)\\ \\ \\ x=\frac{2}{5}\,y^{2}-1$


Podemos parametrizar a curva da seguinte forma:

$\gamma:~\begin{array}{cc} \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{2}{5}\,t^{2}-1\\ \\ y=t \end{array} \right.~~ &~~t\in\mathbb{R}. \end{array}$


Queremos encontrar o ponto $P$ da curva, de tal forma que a distância de $P$ até a origem seja mínima:

$P=\gamma(t)\\ \\ P=\left(\frac{2}{5}\,t^{2}-1,\;t \right )$


Queremos minimizar a distância de $P$ até a origem:

$\|\overrightarrow{OP}\|=\sqrt{\left(\frac{2}{5}\,t^{2}-1 \right )^{2}+t^{2}}\\ \\ \|\overrightarrow{OP}\|=\sqrt{\frac{4}{25}\,t^{4}-\frac{4}{5}\,t^{2}+1+t^{2}}\\ \\ \|\overrightarrow{OP}\|=\sqrt{\frac{4}{25}\,t^{4}+\frac{1}{5}\,t^{2}+1}$


A raiz quadrada é uma função crescente, logo para minimizar o valor da raiz quadrada, basta que minimizemos o radicando. Então, queremos minimizar

$\|\overrightarrow{OP}\|^{2}=\frac{4}{25}\,t^{4}+\frac{1}{5}\,t^{2}+1=g(t)$

com $t\in\mathbb{R}.$

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A função $g$ é diferenciável em todo o domínio. Portanto todos os pontos críticos de $g$ são tais que

$g'(t)=0\\ \\ \frac{16}{25}\,t^{3}+\frac{2}{5}\,t=0\\ \\ 16t^{3}-10t=0\\ \\ 2t\,(t^{2}-5)=0\\ \\ t=0~\text{ ou }~t=-\sqrt{\frac{5}{8}}~\text{ ou }~t=\sqrt{\frac{5}{8}}$
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Calculando o valor de $g$ em cada um dos pontos críticos:

Para $t_{1}=0,$ temos

$g(t_{1})=g(0)=1$


Para $t_{2}=-\sqrt{\frac{5}{8}},$ temos

$g(t_{2})=g(-\sqrt{\frac{5}{8}})\\ \\ =\frac{4}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{5}{8}})^{4}+\frac{1}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{5}{8}})^{2}+1\\ \\ =\frac{4}{25}\cdot \frac{25}{64}+\frac{1}{5}\cdot \frac{5}{8}+1\\ \\ =\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+1\\ \\ =\frac{19}{16}$

Para $t_{3}=\sqrt{5},$ de forma análoga encontramos

$g(t_{3})=g(\sqrt{\frac{5}{8}})=\frac{19}{16}.$
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Colocando em ordem os valores encontrados, temos que

$g(t_{1})<g(t_{2})=g(t_{3})$


Logo, o único candidato a ponto de mínimo é $t_{1}=0.$
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Verificando que $t_{1}=0$ é de fato um ponto de mínimo de $g:$

Teste da derivada segunda:

$g''(t)=\frac{48}{25}\,t^{2}+\frac{2}{5}$


Computando em $t_{1}=0:$

$g''(0)=\frac{2}{5}>0$


Logo, $t_{1}=0$ é um ponto de mínimo de $g.$ E podemos concluir ainda mais:

$t_{1}=0$ é o ponto de mínimo global de $g.$ Isto significa que $g(t)$ não assume valor menor que $g(t_{1}),$ qualquer que seja $t\in\mathbb{R}.$


Uma justificativa para este fato é que, se existisse algum outro ponto de mínimo, como $g$ é diferenciável em todo o domínio, teríamos que tê-lo encontrado ao resolver a equação

$g'(t)=0$


Como o único ponto de mínimo que apareceu foi $t_{1}=0,$ então esse é o ponto de mínimo global (ou mínimo absoluto).

Além disso, o limite de $g$ com $x\to\pm\infty=+\infty,$ o que nos garante que a função não decresce para valores menores que $g(0).$
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O ponto $P$ mais próximo da origem é

$P=\gamma(t_{1})\\ \\ P=\gamma(0)\\ \\ P=\left(\frac{2}{5}\,\cdot 0^{2}-1,\;0 \right )\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}P=\left(-1,\;0 \right ) \end{array}}$