Question

Uma reta r forma um ângulo de 45 graus com o eixo das abscissas (eixo x) e passa pelo ponto ( 4, 3 ). Determine a distância entre essa reta e o ponto de origem.

Answer 1

A distância entre a reta e o ponto de origem requerem que nós saibamos a equação da reta e o ponto. Temos o ponto, que é a origem (0, 0), agora falta a equação da reta:

Equação da reta:

Precisamos do coeficiente angular e de um ponto em que ela passa. Temos o ponto (4,3) agora falta o coeficiente angular!

Coeficiente angular:

$m_r=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=tg\alpha$

Se temos o ângulo em que a reta cruza o eixo x, podemos calcular o coeficiente

$m_r=tg45=1$

Agora temos o coeficiente angular e um ponto, assim podemos colocar na fórmula da equação da reta:

$y-y_0=m(x-x_0)\\\\y-3=1(x-4)\\0=x-4-y+3\\0=x-y-1$

Distância de ponto a reta:

Fórmula:

$d(P,r)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Utilizando os dados:

Equação da reta (r): $x-y-1=0$

Ponto origem (P): (0, 0)

$d(P,r)=\frac{|1\cdot0+(-1)0-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\\\\d(P,r)=\frac{|-1|}{\sqrt2}\\\\d(P,r)=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}\\\\d(P,r)=\frac{\sqrt2}{2}$

Qualquer dúvida, estou disponível :)