Question

(Colégio Naval - 2017)

$\large\begin{array}{l}\sf Sabendo\ que\ \boldsymbol{\sf5^k=561+2^{2p}}\ e\,\ \boldsymbol{\sf5^{\frac{k}{2}}=17+2^p}\\\\\sf ,\,o\ valor\ de\ \, \boldsymbol{\sf\dfrac{p^k-k^p}{p^k+k^p}}\ \acute{e}\ igual\ a\\\\\\\sf A)\ \dfrac{7}{11}\\\\\\\sf B)\ \dfrac{19}{35}\\\\\\\sf C)\ \dfrac{17}{145}\\\\\\\sf D)\ \dfrac{11}{127}\\\\\\\sf E)\ \dfrac{13}{368}\end{array}$

Answer 1

                                   ☀️

$\LARGE\begin{array}{l} \boldsymbol{ Um \: \:m \acute {e}todo \: \: mais \:\: f \acute {a}cil \:\: de\:\: resolver \:\: \acute {e}:} }}$

• $\large {\text { \it \quad\:\:\: Substituir \:\: os\:\: de\:\: \blue { \it 5^{\frac{k}{2} } } \:\: por\:\: \red{\it a}, \: \blue{\it 2^p} \:\: por \:\: \red{\it b}, como \:\: inc\acute{o}gnitas. }}$

$\Large { \it Isto \: \: \acute{e} :}$

$\Large {\text{ \bf \left\{\begin{array}{ccc}\\\bf a^2 = 561+b^2\\ \bf a = 17+b \\\\ \end{array}\right }}$

             

$\Large { \it Podemos \:\: fazer\:\: a^2 =(17+b)^2 \:\: e\:\: fazer \:\: a \:\: distributiva: }$

$\Large {\text { \bf 289+34b+b^2 \quad \Rightarrow \quad \boxed {\bold {289+34b+\not{b}^2= 561+\not{b}^2}} }}$

                                                          $\Large { \swarrow}$

                                                  $\Large {\text { \bf 34b = 272 \quad \Rightarrow \quad \boxed {\bold {b=8}} }}$

$\Large { \it Agora \:\: facilita \:\: nossa \:\: vida,\:\: j \acute{a}\:\: que \:\: fica \:\: f \acute{a}cil \:\: de \:\: descobrir: }$

$\Large {\boxed {\bf a =25}}$

$\Large{ \it {\bf D}escobriremos \: \: k \:\:e\:\: 2^p :}$

$\Large {\text { \bf \not{5}^{\frac{k}{2} } = \not{5}^2 \quad \Rightarrow \quad \boxed{\bf k=4} }}$

$\Large{ \bf 2^p = 8 \quad \Rightarrow \quad \boxed{\bf p = 3} }$

$\Large { \it Substitui \:\: isso \:\: em \:\: \bf \cfrac{p^k-k^p}{p^k+k^p}: }$

                   

                         $\LARGE \boxed {\boxed {\bold {\cfrac{17}{145} }}}$            

Answer 2

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⠀⠀O valor dessa fração algébrica é igual a 17/145, então a alternativa c) é a correta.

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⠀⠀De início a questão nos fornece as equações $\small\sf 5^k=561+2^{2p}$ e $\small\sf 5^\frac{k}{2}=17+2^p$, e em seguida, pede-se o resultado de uma fração que envolve os valores de k e p. Analisando melhor as equações supracitadas, percebemos que é possível fazer um artifício de cálculo, que consistirá em substituir os termos 5ᵏ e 2ᵖ por letras que farão o papel de incógnitas provisórias, digamos assim. À vista disso, estarei fazendo 5ᵏ = x e 2ᵖ = y, de forma que:

• $\small\sf 5^k=561+2^{2p}~\Rightarrow~x=561+y^2$ (i)
• $\small\sf 5^\frac{k}{2}=17+2^p~\Rightarrow~x^\frac{1}{2}=17+y$ (ii)

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⠀⠀Agora fica fácil de resolver com essas novas variáveis. Veja que podemos substituir o valor de x da eq. (i) na eq. (ii), de modo que tenhamos:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf x^\frac{1}{2}=17+y\\\\\\\sf\implies~~~~(561+y^2)^\frac{1}{2}=17+y\\\\\\\sf\implies~~~~\big[(561+y^2)^\frac{1}{2}\big]^2=(17+y)^2\\\\\\\sf\implies~~~~(561+y^2)^\frac{2}{2}=17\:\!^2+2\cdot17\cdot y+y^2\\\\\\\sf\implies~~~~(561+y^2)^1=289+34y+y^2\\\\\\\sf\implies~~~~561+y^2=289+34y+y^2\\\\\\\sf\implies~~~~y^2-y^2+34y=561-289\\\\\\\sf\implies~~~~0+34y=272\\\\\\\sf\implies~~~~y=\dfrac{272}{34}\\\\\\\sf\implies~~~~y=8\end{array}$

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• Obs.: na 3ª linha elevamos ambos os membros ao quadrado para que pudéssemos eliminar o expoente fracionário.

⠀⠀Agora substituindo o valor definido de y na eq. (i), teremos:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf x=561+y^2\\\\\\\sf\implies~~~~x=561+8^2\\\\\\\sf\implies~~~~x=561+64\\\\\\\sf\implies~~~~x=625\end{array}$

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⠀⠀Assim, com os valores definidos de x e y podemos retomar à 5ᵏ = x e 2ᵖ = y, de modo a obter:

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                                    $\large\begin{array}{c}\sf5^k=x\\\\\\\sf5^k=625\\\\\\\sf5^k=5^4\\\\\\\!\boxed{\sf k=4}\end{array}\sf\qquad\land\qquad\begin{array}{c}\sf2^p=y\\\\\\\sf2^p=8\\\\\\\sf2^p=2^3\\\\\\\!\boxed{\sf p=3}\end{array}$

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• Obs.: por se tratarem de equações exponenciais, bastou-se deixar as bases iguais em ambos membros para igualar os expoentes.

⠀⠀Por fim, basta encontrar o valor da fração algébrica supracitada com os valores definidos de k e p:

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$\begin{array}{l}\sf=~~~~\dfrac{p^k-k^p}{p^k+k^p}\\\\\\\sf=~~~~\dfrac{3^4-4^3}{3^4+4^3}\\\\\\\sf=~~~~\dfrac{81-64}{81+64}\\\\\\\sf=~~~~\dfrac{17}{145}\end{array}$

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⠀⠀Portanto, a alternativa c) 17/145 responde a questão.

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                             $\large\boldsymbol{\mathsf{-x-}~~Q\upsilon es\tau\alpha\theta~f\iota\eta\alpha l\iota z\alpha\delta\alpha~~\mathsf{-x-}}$

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

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      $\large\boldsymbol{O\beta r\iota g\alpha\delta\theta~\rho el\alpha~q\upsilon es\tau\alpha\theta~e~\upsilon m~cor\delta\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!\ \heartsuit\heartsuit}$