Question

Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis nem sempre é uma tarefa fácil. Uma forma de esboçar o gráfico, ou seja, construir uma superfície é chamada de curvas de nível. "As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são aquelas com equação f(x,y) = k, onde k é uma constante(na imagem de f).

Seja a função dada por f(x,y)= raiz 4-x^2-y^2

As curvas de nível para z = 0 z = 1 são representadas pelas respectivas equações:

Answer 1

$f(x,\;y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$

As curvas de nível são curvas que estão no plano $xy,$ contidas no domínio da função. A função calculada em qualquer ponto de uma curva de nível é constante.


$\bullet\;\;$ A curva de nível zero é

$z=0\\ \\ f(x,\;y)=0\\ \\ \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}=0\\ \\ 4-x^{2}-y^{2}=0\\ \\ x^{2}+y^{2}=4$

A curva de nível zero, é uma circunferência no plano $xy,$ com centro na origem e raio $2.$


$\bullet\;\;$ A curva de nível $1$ é

$z=1\\ \\ f(x,\;y)=1\\ \\ \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}=1\\ \\ 4-x^{2}-y^{2}=1\\ \\ x^{2}+y^{2}=4-1\\ \\ x^{2}+y^{2}=3$

que é uma circunferência no plano $xy,$ com centro na origem e raio $\sqrt{3}.$