Question

Qual é a integral de e^(ax)cos(bx) de 0 a pi se a,b são inteiros e b é par?
(A) a(e^(api)-1)/(a^2+b^2)
(B) a(e^(api)+1)/(a^2+b^2)
(C) a/(a^2+b^2)
(D) e^(api)/(a^2+b^2)
(E) nenhuma das respostas anteriores

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \int \limits_{0}^{\pi} e {}^{ax} \: . \: \cos(bx) dx$

Para resolver essa integral, vamos usar o método da integração por partes. Nesse método devemos escolher uma função para ser a derivada e outra para ser integrada. Seguindo a regra LIATE (mostrada na figura), devemos escolher a função mais a esquerda para ser a derivada e a mais a direita para ser integrada. Aplicando na nossa integral, temos:

• Derivada:

$u = \cos(bx) \: \to \: \frac{du}{dx} = - b. \sin(bx)\\ \\ du = - b.\cos(bx)\: dx$

• Integral:

$dv = e {}^{ax} \: \to \: \: \int dv = \int e {}^{ax} dx \\ v = \int e {}^{ax} \: dx$

Resolvendo por substituição de variável:

$k= ax \: \to \: \: \frac{dk}{dx} = a \: \to \: \: \frac{dk}{a} = dx \\ \\ v = \int e {}^{k} . \frac{dk}{a} \: \to \: v = \frac{1}{a} \int e {}^{k} \: dk \\ \\ v = \frac{1}{a} .e {}^{k} \: \to \: \: v = \frac{e {}^{ax} }{a}$

Agora com esses dados, podemos substituir na relação da integração por partes:

$\int u.v = u.v - \int v.du \\ \\ \int e {}^{ax} . \cos(bx) \: dx = \cos(x). \frac{e {}^{ax} }{a} - \int \frac{e {}^{ax} }{a} . (- b\sin(bx)) \: dx \\ \\ \int e {}^{ax} . \cos(bx) \: dx = \cos(x). \frac{e {}^{ax} }{a} + \frac{b}{a} \int e {}^{ax} . \sin(bx) \: dx$

Para prosseguir, devemos resolver mais uma integral por partes do mesmo jeito da anterior:

$\int e {}^{ax} . \sin(bx) \\ \\ u = \sin(bx) \: \to \: \frac{du}{dx} = b.\cos(bx) \\ du = b. \cos(bx) \: dx \\ \\ \int dv = \int e {}^{ax} dx \: \to \: v = \frac{e {}^{ax} }{a}$

Substituindo na relação da integração por partes:

$\int u.v = u.v - \int v.du \\ \\ \int \sin(bx).e {}^{ax} \: dx = \sin(bx). \frac{e {}^{ax} }{a} - \int \frac{ e {}^{ax}}{a} . \cos(bx).b \: dx \\ \\ \int \sin(bx).e {}^{ax} \: dx = \frac{\sin(bx). {e {}^{ax} }}{a}- \frac{b}{a} \int e {}^{ax} . \cos(bx) \: dx \:$

Substituindo esse resultado onde paramos na outra integração por partes:

$\int e {}^{ax} . \cos(bx) \: dx = \cos(x). \frac{e {}^{ax} }{a} + \frac{b}{a} \int e {}^{ax} . \sin(bx) \: dx \\ \\ \int e {}^{ax} . \cos(bx) \: dx = \cos(x). \frac{e {}^{ax} }{a} + \frac{b}{a} \left( \frac{\sin(bx). {e {}^{ax} }}{a}- \frac{b}{a} \int { e {}^{ax} }. \cos(bx) \: dx \: \right) \\ \\ \int e {}^{ax} . \cos(bx) \: dx = \cos(x). \frac{e {}^{ax} }{a} + \frac{b. \sin(bx).e {}^{ax } }{a {}^{2} } - \frac{b {}^{2} }{a {}^{2} } \int e {}^{ax} . \cos(bx) \: dx \\ \\ \int e {}^{ax} . \cos(bx) \: dx + \frac{b {}^{2} }{a {}^{2} } \int e {}^{ax}. \cos(bx) \: dx = \cos(x). \frac{e {}^{ax} }{a} + \frac{b. \sin(bx).e {}^{ax } }{a {}^{2} } \\ \\ \left(1 + \frac{ b {}^{2} }{a {}^{2} } \right) \int e {}^{ax} \cos(bx) \: dx = \cos(x). \frac{e {}^{ax} }{a} + \frac{b. \sin(bx).e {}^{ax } }{a {}^{2} } \\ \\ \int e {}^{ax} \cos(bx) \: dx = \frac{ \cos(x). \frac{e {}^{ax} }{a} + \frac{b. \sin(bx).e {}^{ax } }{a {}^{2} } }{1 + \frac{b {}^{2} }{a {}^{2} } } \\ \\ \int e {}^{ax} \cos(bx) \: dx = \frac{\cos(x). \frac{e {}^{ax} }{a} + \frac{b. \sin(bx).e {}^{ax } }{a {}^{2} }}{ \frac{a {}^{2} + b {}^{2} }{a {}^{2} } } \\ \\ \int e {}^{ax} \cos(bx) \: dx = \left( \cos(x). \frac{e {}^{ax} }{a} + \frac{b. \sin(bx).e {}^{ax } }{a {}^{2} } \right). \left( \frac{a {}^{2} }{a {}^{2} + b {}^{2}} \right) \\ \\ \int e {}^{ax} \cos(bx) \: dx = \frac{ \cos(x).e {}^{ax}.a }{a {}^{2} + b {}^{2} } + \frac{b. \sin(bx).e {}^{ax} }{a {}^{2} + b {}^{2} } \\ \\ \int e {}^{ax} \cos(bx) \: dx = \frac{ \cos(x).e {}^{ax}.a + b. \sin(bx).e {}^{ax} }{a {}^{2} + b {}^{2} }</p><p>$

Substituindo os limites de integração, obtemos:

$\frac{ \cos(\pi).e {}^{a\pi} .a + b. \sin(\pi.b).e {}^{a\pi} }{a {}^{2} + b {}^{2} } - \left( \frac{ \cos(0).e {}^{a.0} .a + b. \sin(0.b).e {}^{a0} }{a {}^{2} + b {}^{2} } \right) \\ \\ \frac{a.e {}^{a\pi} }{a {}^{2} + b {}^{2} } - \frac{a}{a {}^{2} + b {}^{2} } \\ \\ \frac{a.e {}^{a\pi} - a}{a {}^{2} + b {}^{2} } \: \to \: \: \boxed{ \boxed{ \boxed{\frac{a.(e {}^{a\pi}+ 1) }{a {}^{2} + b {}^{2} } }}}$

Espero ter ajudado