Se f é a função que satisfaz f(3)=6,f(1)=3 e é tal que, para cada x, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de coordenadas (x,f(x)) é proporcional a f(x), o valor de f(−1) é
Respostas
Resposta:
f(-1) = 3/2
Explicação passo a passo:
Temos aqui uma equação diferencial de primeira ordem com condições de contorno:
f'(x) = k * f(x)
com
f(3) = 6
f(1) = 3
Reescrevendo a equação:
f'(x) / f(x) = k
ou
y'/y = k , onde y=f(x)
mas sabemos que a integral de 1/y é ln(y), então integrando:
ln(y) = k*x + c
Substituindo y=f(x):
ln(f(x)) = k*x+c
=> f(x) = e^(k*x+c)
Aplicando as condições de contorno:
f(3) = e^(3*k+c) = 6 =>
3*k+c = ln(6) (1)
f(1) = e^(1*k+c) = 3 =>
k+c = ln(3) (2)
Subtraindo a equação (2) da (1), obtemos:
2*k = ln(6)-ln(3) = ln(2) => k = ln(2)/2
c = ln(3)-k = ln(3)-ln(2)/2 = (2*ln(3)-ln(2))/2 = ln(9/2)/2
Portanto:
f(x) = e^(x*ln(2)/2 + ln(9/2)/2)
Calculando o valor de f(-1):
f(-1) = e^(-ln(2)/2 + ln (9/2)/2)
= e^[1/2*(ln(9/2)-ln(2)]
= e^[1/2*ln(9/4)]
= e^[ln(raiz(9/4)]
= e^(ln(3/2))
= 3/2